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Differentialgeometrie

Tags: Differentialgeometrie, Funktion, Funktionentheorie, mehrdimensionale Analysis

MassMath45 aktiv_icon

22:07 Uhr, 30.05.2015

Hallo. Ich würde gerne ein paar Verständnisfragen klären, ich nummeriere meine Zwischenfragen einfach durch, es reicht dann schon mit ja oder nein zu antworten.

Ich habe eine Kurve gegeben. Es ist die Kurve, in Parameterdarstellung:

(x; y)^{T} \to (t^{2} - 1; t^{3} - t)^{T}

also ein Newtonknoten. Dieser wird ja von

ℝ

ℝ^{2}

abgebildet. Also in eine Ebene.

Dann habe ich noch F gegeben. F heißt:

F = (\begin{array}{rcl} ℝ^{2} \to ℝ \\ (x, x) \mapsto F (x, y) = x^{3} + x^{2} - y^{2} \end{array})

\sum 1

. Ist das auch eine Kurve? Oder sagt man zu skalaren Funktionen nicht Kurve?

Jetzt wollte ich zeigen, dass alle Punkte des Knotens auf der Tangentialebene/Höhenlinie zum Niveau

c = 0

liegen.

\sum 2

. Ist das die Ebene von

x

und

y

Koordinatenachsen?

Ich habe nun die partiellen Ableitungen gebildet, um alles in die Formel einsetzen zu können. Die Formel die ich bei Wikipedia gefunden habe lautet:

z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

. Das Ergebnis ist, wie zu erwarten war,

0

Bis hier hin ist es mir einigermaßen klar. Aber jetzt muss ich ja zeigen, dass die Knotenpunkte in dieser Ebene liegen.

Wenn man nach Newton Knoten googelt erhält findet man die Darstellung mit

x

und

y

y^{2} = x^{2} (x + 1)

. Ich habe das mal nach

x

und

y

aufgelöst und wenn ich dann für

x

t^{2} - 1

einsetze kommt für

y

genau die Parametrisierung aus meiner Angabe heraus.

\sum 3

. Kann man ohne es nachzuschauen von der Parameterform auf diese Form kommen?

\sum 4

. Ich kann die Gleichung für die Tangentialeben irgendwie nicht auf die Newton Kurve anwenden, was muss man machen um es zu zeigen?

Eine weitere kleine Verständnisfrage:

\sum 5

. Ist die Newtonkurve nicht ohnehin 2- Dimensional und das müsste als Begründung dann doch schon ausreichen. Oder anders gefragt: Wie müsste eine (Newton)kurve beschaffen sein, damit sie NICHT in dieser Ebene liegt?

Ich freue mich auf die Zusammenarbeit.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

MassMath45 aktiv_icon

22:24 Uhr, 30.05.2015

Als Formel für die Höhenlinie habe ich benutzt:

x^{3} + x^{2} - y^{2} = c

und für

c = 0 " h a b e i c h d a n n

y = \pm \sqrt{x^{3} + x^{2}}

.

Genügt das für den Nachweis, dass alle PUnkte des Knoten auf dieser Höhenlinie liegen?

pleindespoir aktiv_icon

22:40 Uhr, 30.05.2015

F(x, y) = x³ + x² - y²

lässt sich trefflich in 3D darstellen - wenn F(x, y) die z-Achse ist.

Der Schnitt durch die Ebene z=0 ergibt dann exakt die Kurve[t² - 1, t³ - t]

ledum aktiv_icon

22:57 Uhr, 30.05.2015

Hallo
zu 2

F (x, y)

ist sicher keine Kurve, der raph von

F (

mit

z = F (x, y)

)ist es eine Fläche, ihre Höhenlinien F(x,y)=const sind Kurven. damit auch die Höhenlinie

c = 0

Aber

c = 0

hat eigentlich mit Tangentialebene nichzs zu tun, die Tangentialebene an den Graphen in(0,0) ist allerdings die Ebene

z = 0,

F (x) = 0

und

F_{y} = 0 \in (o, o =

unf

F (0,0)

diese Tangentialebene

z = 0

schneidet jetzt die Fläche in der Höhenlinier

F = 0

zu 3
ja man sieht

y = t \cdot x, t = \sqrt{x + 1}

einsetzen und quadrieren

eine

2 d

Kurve kann auch in der Ebene

z = 3

liegen oder in einer schiefen Ebene.
Eigentlich müsste man sagen: die Tangentialebene in

(0,0,0)

ist z=ß sie schneidet dien Graphen in dem Knoten, dass der dasselbe ist wie die Parameterdarstellun solltest du zeigen, allerdings würde ich

y^{2} = x^{3} + x^{2}

schreiben
ist damit allkes klar? schreib bitte nächstes Mal die Orginalaufgabe.
Gruß ledum

MassMath45 aktiv_icon

23:24 Uhr, 30.05.2015

lassen wir den Teil mit der Tangentialebene weg, das hab ich mir selbst dazugedacht, zwecks Verständins.
__________

Wenn ich also zeigen soll, dass alle Punkte des Knotens auf der Höhenlinie für

H_{F} (0)

liegen, reicht es aus zu schreiben:

x^{3} + y^{3} - y^{2} = c

also

x^{3} + y^{3} - y^{2} = 0

y^{2} = x^{3} + x^{2}

Dann schreibe ich

x = t^{2} - 1

(das "hole"ich mir aus der Parameterdarstellung) und daraus ergibt sich ja dann

x = t^{2} - 1

y = t^{3} - t

Somit ist es schon bewiesen bzw gezeigt bzw nachgewiesen?

Wir haben zwei Wochen dafür Zeit deshalb dachte ich es muss komplizierter sein...?

ledum aktiv_icon

00:11 Uhr, 31.05.2015

Hallo
etwas genauer sollte man die Umformung von Parameterdarstellung zu impliziter Darstellung schon machen. Und solange ich die Orginalaufgabe nicht kenne, sondern nur deine stückweise Interpretation kann ich nichts dazu sagen, ob das alles ist, was verlangt ist.
Gruß ledum

MassMath45 aktiv_icon

10:43 Uhr, 31.05.2015

Ok. Auf dem Papier habe ich es schon genauer aufgeschrieben, es ging mir nur um die Ansätze, die Algebra dahinter ist ja nicht so schwer.

Die Originalaufgabenstellung lautet so:

Zeigen Sie, dass alle Punkte von

γ

(dem Newtonknoten) auf der Höhenlinie

H_{F} (0)

zum Niveau

c = 0

liegen.

Und dann gehe ich vor wie in meinem vorigen Post, soweit dann richtig?

MassMath45 aktiv_icon

21:45 Uhr, 31.05.2015

ist die Aufgabe so mathematisch korrekt beantwortet? ich bin mir über den letzten Schritt nicht so ganz im Klaren, wie man das richtig ausdrückt...

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