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Höhenlinie einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation/ Gradient /Höhenlinien

Florentine1996 aktiv_icon

19:29 Uhr, 04.12.2015

Ich habe die Funktion

f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Ich soll bestimmen um welche Fläche es sich bei

c = f (x, y)

handelt.Ich habe gedacht es ist ein Kreis...ist das richtig...kann mir das jmd bestätigen?
DANKE

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

19:43 Uhr, 04.12.2015

Ja, für

c > 0

ist das ein Kreis mit Radius

c

(aber es ist keine Fläche).
Es handelt sich bei

f (x, y)

ja um einen nach oben offenen Drehkegel mit lotrechter Achse, Spitze im Ursprung und Öffnungswinkel

90^{\circ}

.
Das sind die Horizontalschnitte Kreise.

R

Florentine1996 aktiv_icon

19:59 Uhr, 04.12.2015

also die Fläche ist dann ein Kreis???

pleindespoir aktiv_icon

20:04 Uhr, 04.12.2015

bei c< 0 wirds imaginär - bzw. in IR nicht lösbar

pleindespoir aktiv_icon

20:06 Uhr, 04.12.2015

Ein Kegel ist sowas ähnliches wie ein Kreis - naja eher eine Kugel - halt nicht so rund eben ...

Roman-22

20:21 Uhr, 04.12.2015

>

also die Fläche ist dann ein Kreis???
???????
Welche Fläche??

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = c > 0

beschreibt eine Kreislinie. Es sind dies die Projektionen der Schichtenlinien(Höhenlinien) der Kegelfläche

z = f (x, y)

auf die xy-Ebene.

Eine Kreisfläche würde durch

\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq 0

beschrieben werden.

Ja, und

z = f (x, y)

beschreibt wie schon erwähnt einen Drehkegel, wenn du so willst eine Kegelfläche.

Was genau ist also deine Frage?

R

rundblick aktiv_icon

21:06 Uhr, 04.12.2015

.
"
Eine Kreisfläche würde durch

\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq 0

beschrieben werden."

Roman-22

\to

... ... ... ... ... ... ... .

. echt ??

.

Florentine1996 aktiv_icon

21:46 Uhr, 04.12.2015

Ok dann habe ich es verstanden...Danke
Ich habe noch ein Frage....wie bestimme ich die Tangente an die Niveaufläche in einem Punkt...ich habe die Funktion f(x,y)=x^2y^3+xy^2+2y
Die Niveafläche soll dabei im Punkt

1,0

liegen....wie soll ich das machen...bitte um Hilfe

ledum aktiv_icon

21:55 Uhr, 04.12.2015

Hallo
wenn ihr die Aufgabe habt, dann müsst ihr doch über Tangenten und Tangentialebenen geredet haben? oder man fragt mal wiki, besser aber ist dein Buch, dein Skript, deine Vorlesungsmitschrift.
Wenn wir dir jetzt einfach ne Formel sagen, musst du die glauben- warum solltest du das?
Gruß ledum

Florentine1996 aktiv_icon

22:03 Uhr, 04.12.2015

Ich habe nichts dazu gefunden...kann mir jmd helfen

ledum aktiv_icon

23:22 Uhr, 04.12.2015

Hallo
Was macht ihr denn zur Zeit in der Vorlesung? hast du mal das Wort Tangentialebene in google oder wikipedia eingegeben?
Gruß ledum

pleindespoir aktiv_icon

03:53 Uhr, 05.12.2015

Die preisverdächtige Antwort eines Fragestellers auf meinen Rat hin eine bestimmte wiki-site zu lesen:

"Ich habe den ganzen Artikel nicht gelesen, der ist mir viel zu lang."

Roman-22

06:56 Uhr, 05.12.2015

> >

Eine Kreisfläche würde durch x2+y2≤0 beschrieben werden."

>

Roman-22 →

> ... ... ... ... ... ... ... .

. echt ??
Hmm, in der Tat. Das wär eine verdammt kleine Fläche ;-)
Das sollte besser stehen:

\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq c

mit

c \in ℝ^{+}

R

Florentine1996 aktiv_icon

08:25 Uhr, 05.12.2015

Die Tangente an die Niveaufläche bestimmt man also indem man den

f_{x} \cdot (x - x 0) + f_{y} (y - y 0) = 0

rechnet...ist das richtig???

Roman-22

14:33 Uhr, 05.12.2015

>

..ist das richtig???

Ja, das ist richtig. Der Gradient steht ja immer senkrecht zur Niveaumenge. An der Stelle

(0 / 1)

ist der Gradient

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

und folglich ist ein Tangenterichtunngsvektor

\vec{t} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

. Die Tangentengleichung ergibt sich dann mit

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})) = 0

.

Der Begriff Niveaufläche ist irreführend, wenn man bloß eine Funktion

f : ℝ^{2} \to R

betrachtet. Hier wäre es sinnvoller von Höhenlinie zu sprechen. Oder man verwendet den "neutraleren" Begriff "Niveaumenge", welcher dann auch in der mehrdimensionalen Analysis synonym zu "Niveaufläche" benutzt werden kann.

Aber einfach zu fragen, welche "Fläche" durch

f (x, y) = c

beschrieben wird, ist terminologisch nicht korrekt. Daher auch die Irritation zu Beginn des Threads.
Es wäre nett gewesen, wenn du wenigstens die Rückfrage, welche Fläche du meinst, beantwortet hättest. So hätten wir nicht erst anhand deiner Folgefragen erahnen müssen, dass es um den Begriff der Niveaufläche geht und du noch nicht ganz realisiert hast, dass im

ℝ^{3}

irritierenderweise diese Niveauflächen nur so heißen, aber eben keine Flächen sind. Im Betreff hattest du ja sinnvollerweise noch den Begriff "Höhenlinie" verwendet.

R

Florentine1996 aktiv_icon

16:09 Uhr, 05.12.2015

Danke für die Antwort....sorry die Aufgabe mit der Fläche war eben genauso formuliert...aber jetzt sind alle Fragen geklärt...Danke

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