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Höhenlinien 2sin(x-3y) zeichnen

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Funktionen

Tags: Funktion

Fluktuation23 aktiv_icon

20:57 Uhr, 26.04.2020

Im Anhang befinden sich die Aufgabe, sowie meine Lösung dazu.
Das Problem hierbei: Bei Wolframalpha sind die Höhenlinien periodisch. Das heisst es gibt unendlich viele, parallel zueinander verlaufende Geraden, welche alle die Lösungsmenge für einen c-Wert dastellen. Das liegt an der Periodizität des Sinus. Aber bei meinen Berechnungen oben bekomme ich nur 3 Geradengleichungen für 3 c-Werte, wo liegt der Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

21:05 Uhr, 26.04.2020

Hallo,

die Gleichungen

\sin (x - 3 y) = \frac{c}{2}

(1)
und

x - 3 y = \arcsin (\frac{c}{2})

(2)
sind halt nicht (wie du schreibst) äquivalent.
Es gilt genau genommen nur (2)

\Rightarrow

(1).

Du kennst das Problem von

x^{2} = 9 ∣ \sqrt{.}

(3)

x = \sqrt{9} = 3

(4)

Auch hier: (3) und (4) sind nicht äquivalent (falls keine Einschränkungen für die Wertemenge von

x

vorliegen).

Es gilt "nur" (4)

\Rightarrow

(3), aber nicht umgekehrt.

Mfg Michael

Respon

21:19 Uhr, 26.04.2020

sin (x - 3 \cdot y) = \frac{c}{2}

x - 3 \cdot y = a s i n (\frac{c}{2}) + 2 \cdot π \cdot k

k \in ℤ

usw.

HAL9000

22:01 Uhr, 27.04.2020

Sei

(x_{0}, y_{0})

ein beliebiger Punkt der Ebene. Er liegt auf der Geraden

x - 3 y = d (1)

sofern man

d := x_{0} - 3 y_{0}

wählt. Er liegt dann ebenfalls auf der Höhenlinie

2 \sin (x - 3 y) = c (2)

mit

c := 2 \sin (d)

, es ist dann nur

- 2 \leq c \leq 2

möglich. Wir halten fest, dass also JEDER Punkt der Ebene auf IRGENDEINER Höhenlinie liegt (was im Eröffnungsposting falscherweise anders erzählt wurde).

Wie schon von einigen Vorpostern erwähnt, ist es nämlich ein Trugschluss, von einem solchen gegebenen

c

sofort auf

d = \arcsin (\frac{c}{2})

zu schließen. Tatsächlich besitzt die Gleichung

c = 2 \sin (d)

die beiden Lösungsscharen

d = \arcsin (\frac{c}{2}) + 2 k π

mit

d \in ℤ

, sowie

d = - \arcsin (\frac{c}{2}) + (2 k + 1) π

ebenfalls mit

d \in ℤ

(nur für die beiden Randwerte c=2 sowie c=-2 fallen diese beiden Scharen zusammen). Zu JEDEM dieser

d

gehört nun genau eine Gerade (1), d.h. zu festem

c \in [- 2, 2]

besteht die zugehörige

c

-Höhenlinie der Gleichung (2) nicht nur aus einer, sondern aus unendlich viele parallele Geraden (1) mit den genannten Werten

d

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