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Höhenwachstum einer Pfingstrose

Schüler Gymnasium,

Tags: Exponentielles Wachstum, Höhe, mittlere Geschwindigkeit, momentane geschwindigkeit

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20:34 Uhr, 21.02.2011

Das Höhenwachstum einer Pfingstrose wurde in einer Messreihe erfasst:

t

(Tage)

\to h (t)

(cm)

0 \to 2,0

4 \to 3,5

8 \to 6,13

12 \to 10,73

16 \to 18,79

a)

Weisen Sie nach, dass unbegrenztes exonetielles Wachstum vorliegt.

b)

Wie groß ist die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten

10

Tagen und die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn des

10

. Tages?

c)

Wann erreicht die Pflanze eine Höhe von

40

cm?

Ansätze:

a) f (x) = 2,0 \cdot {1,75}^{x}

(wobei ich schon weiß, dass das nicht richtig sein kann, da ich ja dadurch nicht bewiesen hab, dass ein exponetielles Wachstum vorliegt...

c)

bei der Gleichung müsste demnach

f (x) 40

entsprechen...

Für jeden Denkanstoß wäre ich wirklich sehr dankbar! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

20:49 Uhr, 21.02.2011

Die Sättigungsfunktion aufstellen und bei der dann nachweisen , dass sie Streng monoton steigend ist .

y = a \cdot (1 - e^{- l \cdot t}) + b

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20:58 Uhr, 21.02.2011

Ich habe noch nie etwas von einer Sättigungsfunktion gehört...
und wie weise ich das nach, dass sie streng monoton steigend ist?

Danke schonmal ;-)

anonymous

21:13 Uhr, 21.02.2011

Die Funktion habe ich oben schon hingeschrieben , du musst noch die Parameter bestimmen .

y

Achse geht nach oben

, t

Achse nach rechts .

Man kanns auch so schreiben :

f (t) = a \cdot (1

−

e^{l \cdot t}) + b

b

ist hier 2 weil der Punkt

t = 0

die Koordinate 2 hat .

f (t) = a \cdot (1

−

e^{l \cdot t}) + 2

Dann setzte du eben noch 2 Punkte ein , stellst die Gleichungen auf und bestimmst dein a und dein

l

a)

ist dann nachweisen dass die Funktion streng monoton steigend ist .
b)mittlere Wachstumsgeschwindigkeit bis Tag

10

ist dann der Mittelwert aus f´(0) bis f´(10).
Die Ableitung von

t = 10

ist dann deine Momentante Wachstumsgeschwindigkeit an Tag

10

c) 40

einsetzten und

t

bestimmen

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21:36 Uhr, 21.02.2011

Okay, gut. Aber wo genau setze ich jetzt diese Punkte ein?

anonymous

21:37 Uhr, 21.02.2011

In die Funkion

f (t)

wo auch sonst .

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21:41 Uhr, 21.02.2011

Ja, das liegt ja auf der Hand, aber ich meinte für was setze ich das denn ein für a? l? b?

anonymous

21:42 Uhr, 21.02.2011

b

ist 2 wie ich oben schon geschrieben habe und durch 2 Punkte einsetzten kannst dann

l

und a bestimmen mit den 2 Gleichungen .

Hier nun einsetzten ( da in jede Funktion einen Punkt ,das ergibt 2 Gleichungen mit den Parametern a uns

l)

und die bestimmst du dann :

f (t) = a \cdot (1

−

e^{l \cdot t}) + 2

f (t) = a \cdot (1

−

e^{l \cdot t}) + 2

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22:01 Uhr, 21.02.2011

Und ich setze jetzt willkürlich einfach irgendetwas ein? Und a und

l

haben denselben Wert?

anonymous

22:11 Uhr, 21.02.2011

2 Wertepaare der Angabe

: z . b

4→3,5
8→6,13
a und

l

lässt du einfach stehen . Die Berechnets du nacher aus den 2 Gleichungen .

So sähe eine Gleichung

f (4)

aus , die andere

f (8)

kannst dann selber mal machen und aus den 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten dann a und

l

bestimmen :

f (4) = a \cdot (1

−

e^{l \cdot 4}) + 2 = 3,5

anonymous

22:22 Uhr, 21.02.2011

Mit dem Punkt

0 \Rightarrow 2

kommst eben wie ich oben schon geschrieben habe sofort auf

b = 2

durch hinsehen

Aber ich tipps mal nochmal ausführlicher hin :

f (0) = a \cdot (1

−

e^{l \cdot 0}) + b = 2

da ja

e^{l \cdot 0} = 1

ist geht es so weiter :

a \cdot (1

−

1) + b = 2

a \cdot (0) + b = 2

b = 2

So du kannst dann mal dein

f (8)

bestimmen und aus

f (4)

und

f (8)

dann a und

l

bestimmen ich gehe schlafen .

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22:24 Uhr, 21.02.2011

Ah.. okay und dann wäre ja demnach die zweite Gleichung

f (8) = a \cdot (1 - e^{- l} \cdot 8) + 2 = 6,13

und dann einfach die erste Gleichung also

f (4)

mit 2 multiplizieren und dann kann ich die beiden Gleichungen von einander subtrahieren?

(2 a \cdot (1 - e^{l} \cdot 8) + 4) - (a \cdot (1 - e^{- l} \cdot 8) + 2) = 0,87

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