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Hölder Ungleichung mit p=∞ und q=1

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

Alnura aktiv_icon

10:27 Uhr, 05.07.2019

Es geht um den Spezialfall der Hölder Ungleichung mit

p = \infty

und

q = 1

das heißt die Behauptung lautet: für messbare Funktionen

f, g : Ω \to \bar{ℝ}

gilt:

{| | f \cdot g | |}_{\infty} \leq {| | f | |}_{\infty} \cdot {| | g | |}_{1}

Dabei ist definiert:

{| | f | |}_{\infty} =

inf

{K \in (0, \infty) | μ ({| f | > K}) = 0}

Idee:

(1)

Man zeigt

| f | < {| | f | |}_{\infty} μ

-fast überall und dann folgt:
(2)

{| | f \cdot g | |}_{\infty} = \int | f \cdot g | d μ = \int | f | \cdot | g | d μ \leq \int {| | f | |}_{\infty} \cdot | g | d μ = {| | f | |}_{\infty} \int | g | d μ = {| | f | |}_{\infty} {| | g | |}_{1}

Bei Schritt

(1)

weiß ich leider nicht wie ich das richtig zeige. Vielen Dank für jeden Tipp :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:44 Uhr, 05.07.2019

Hallo,

sei

A := {x : | f (x) | > {| | f | |}_{\infty}}

. Schreibe dies als Vereinigung über

A_{n}

mit

A_{n} := {x : | f (x) | > {| | f | |}_{\infty} + \frac{1}{n}}

Letzteres sind ja Null-Mengen.

Gruß pwm

Alnura aktiv_icon

15:28 Uhr, 05.07.2019

Vielen Dank für die Antwort! Der Schritt ist mir von der Idee her klar, aber ich sehe gerade noch nicht richtig, wie ich begründen kann, dass

A_{n}

eine Nullmenge ist für alle

n \in ℕ

. Gibt es da eine simple Begründung? VG

Alnura aktiv_icon

15:28 Uhr, 05.07.2019

Vielen Dank für die Antwort! Der Schritt ist mir von der Idee her klar, aber ich sehe gerade noch nicht richtig, wie ich begründen kann, dass

A_{n}

eine Nullmenge ist für alle

n \in ℕ

. Gibt es da eine simple Begründung? VG

pwmeyer aktiv_icon

17:42 Uhr, 05.07.2019

Hallo,

es gilt ja für

K > M : {| f | > K} \subseteq {| f | > M}

. Wenn also für ein

m μ (A_{m}) > 0

wäre, dann wäre

{| | f | |}_{\infty} + \frac{1}{m}

eine untere Schranke für die Menge, über die das Infimum genommen wird.

Gruß pwm

Alnura aktiv_icon

17:44 Uhr, 05.07.2019

Besten Dank für die Erklärung, ergibt Sinn :-)

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