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Guten Abend, ich soll in einer Aufgabe alle auf holomorphen Funktionen mit Bild in finden. Bis jetzt hätte ich schon e^(iz) und € und z€ … Woher weiß ich, wann ich alle Funktionen gefunden habe? Gibt es hierfür irgendeinen Satz, den ich anwenden kann ( vielleicht den Identitätssatz)? Vielen Dank im Voraus :-)
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Deine Funktionen sind weder holomorph noch haben sie das Bild in .
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Aber die Frage ist: was ist ? Denn wenn es ist, also der Körper der komplexen Zahlen, dann sind die einzigen holomorphen auf ganz Funktionen mit Bild in die Konstanten (Satz von Liouville).
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Hallo, ja ich meine den Körper der komplexen Zahlen, dass nicht holomorph auf ist habe ich vergessen, das verstehe ich, aber warum ist e^(iz) nicht holomorph?
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"dass 1z nicht holomorph auf U1(0)"
Noch einmal: wo sollen die Funktionen holomorph sein? Auf . Poste bitte das Bilde der Originalaufgabe.
"r e^(iz) nicht holomorph?"
Was ist denn ?
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Entschuldigung, hab es gerade verwechselt, die die Funktion soll auf dem Def Bereich Der komplexen Zahlen holomorph sein. soll ein beliebiger Radius sein Der kleiner als eins ist, dann erhält man durch r(e^(iz)) mit zwischen 0 und 2pi einen Kreis, dessen Bild in liegt, oder ?
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"r soll ein beliebiger Radius sein Der kleiner als eins ist, dann erhält man durch r(e^(iz)) mit z zwischen 0 und 2pi einen Kreis, dessen Bild in U1(0) liegt, oder ?"
Ja, aber was willst du mit zwischen und sagen? Zwischen und liegen reelle Zahlen, aber sind komplexe Zahlen. Du brauchst eine Funktion, die auf komplexen Zahlen definiert ist und nicht auf dem reellen Intervall . Und auf komplexen Zahlen liegt das Bild von nicht in , dieses Bild ist nicht mal beschränkt.
Im Übrigen, die Antwort ist: nur Konstanten, ich hab das oben schon geschrieben. Wegen Liouville.
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Ah okay, vielen Dank, das ergibt Sinn :-)
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