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Holomorphe Funktionen

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Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

 
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mariaaa-26-00

mariaaa-26-00 aktiv_icon

21:36 Uhr, 30.11.2021

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Guten Abend,
ich soll in einer Aufgabe alle auf C holomorphen Funktionen mit Bild in U1(0) finden.
Bis jetzt hätte ich schon f(z)=r e^(iz) ,r<1 und f(z)=1z,zN und f(z)=1z2, z€ N,
Woher weiß ich, wann ich alle Funktionen gefunden habe? Gibt es hierfür irgendeinen Satz, den ich anwenden kann ( vielleicht den Identitätssatz)?
Vielen Dank im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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DrBoogie

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21:50 Uhr, 30.11.2021

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Deine Funktionen sind weder holomorph noch haben sie das Bild in U1(0).
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DrBoogie

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21:52 Uhr, 30.11.2021

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Aber die Frage ist: was ist C?
Denn wenn es ist, also der Körper der komplexen Zahlen, dann sind die einzigen holomorphen auf ganz Funktionen mit Bild in U1(0) die Konstanten (Satz von Liouville).
mariaaa-26-00

mariaaa-26-00 aktiv_icon

21:56 Uhr, 30.11.2021

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Hallo, ja ich meine den Körper der komplexen Zahlen, dass 1z nicht holomorph auf U1(0) ist habe ich vergessen, das verstehe ich, aber warum ist r e^(iz) nicht holomorph?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:01 Uhr, 30.11.2021

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"dass 1z nicht holomorph auf U1(0)"

Noch einmal: wo sollen die Funktionen holomorph sein? Auf U1(0).
Poste bitte das Bilde der Originalaufgabe.

"r e^(iz) nicht holomorph?"

Was ist denn r?
mariaaa-26-00

mariaaa-26-00 aktiv_icon

22:46 Uhr, 30.11.2021

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Entschuldigung, hab es gerade verwechselt, die die Funktion soll auf dem Def Bereich Der komplexen Zahlen holomorph sein. r soll ein beliebiger Radius sein Der kleiner als eins ist, dann erhält man durch r(e^(iz)) mit z zwischen 0 und 2pi einen Kreis, dessen Bild in U1(0) liegt, oder ?

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:54 Uhr, 30.11.2021

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"r soll ein beliebiger Radius sein Der kleiner als eins ist, dann erhält man durch r(e^(iz)) mit z zwischen 0 und 2pi einen Kreis, dessen Bild in U1(0) liegt, oder ?"

Ja, aber was willst du mit z zwischen 0 und 2π sagen?
Zwischen 0 und 2π liegen reelle Zahlen, aber z sind komplexe Zahlen.
Du brauchst eine Funktion, die auf komplexen Zahlen definiert ist und nicht auf dem reellen Intervall [0,2π].
Und auf komplexen Zahlen liegt das Bild von reiz nicht in U1(0), dieses Bild ist nicht mal beschränkt.

Im Übrigen, die Antwort ist: nur Konstanten, ich hab das oben schon geschrieben. Wegen Liouville.

Frage beantwortet
mariaaa-26-00

mariaaa-26-00 aktiv_icon

23:29 Uhr, 30.11.2021

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Ah okay, vielen Dank, das ergibt Sinn :-)