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Holomorphe Funktionen, Beweis?

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Funktionentheorie

mathe84 aktiv_icon

14:49 Uhr, 16.01.2021

(a)

Es sei

f : {C}

{

0\}

\to {C}

holomorph, und es gebe

c > 0, k_{1}, k_{2} \in {Z}, k_{1} \leq k_{2},

sodass

| f (z) | \leq c \leq f t ({| z |}^{k_{1}} + {| z |}^{k_{2}}) \forall z \in {C}

{

0}

Beweisen Sie, dass dann

f (z) = \sum_{n = k_{1}}^{k_{2}} a_{n} z^{n}

(b)

Die Funktion

g

habe in 0 einen Pol der Ordnung

p

. Zeigen Sie, dass es dann

M, m, r 〉 0

gibt, sodass

\frac{m}{{| z |}^{p}} \leq | g (z) | \leq \frac{M}{{| z |}^{p}} \forall z \in B_{r} (0)

{

0}

Ich habe hier leider keinen Ansatz, wisst ihr wie man das löst?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

14:53 Uhr, 16.01.2021

Was ist

f t

mathe84 aktiv_icon

15:01 Uhr, 16.01.2021

| f (z) | \leq c ({| z |}^{k_{1}} + {| z |}^{k_{2}}) \forall z \in {C}

{

0}

Das muss es eigentlich heißen, hatte es bei der Eingabe falsch aufgeschrieben , entschuldigung

DrBoogie aktiv_icon

15:21 Uhr, 16.01.2021

Zu a) kuck hier:
math.stackexchange.com/questions/2330271/show-that-a-holomorphic-function-is-polynomial
Zwar ist das eine einfachere Aufgabe, aber die Methode soll übertragbar sein.

Zu b): multipliziere die Funktion mit

z^{p}

. Das Ergebnis ist eine holomorphe Funktion, also insbesondere eine stetige. Sie ist dann von oben beschränkt auf

B_{r}

für genug kleines

r

. Und sie kann keine Nullstelle in

B_{r}

haben, da Pol isoliert war - wenn wir wieder

r

klein genug wählen. Dadurch muss

m > 0

sein.

mathe84 aktiv_icon

16:20 Uhr, 18.01.2021

Dankeschön!

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