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Holomorphe Koordinaten auf Riemannschen Flächen

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, holomorph, Residuen, Riemannsche Flächen

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18:04 Uhr, 19.02.2019

Hallo,

ich habe ein generelles Verständnisproblem bei holomorphen Koordinaten (vor allem im Bezug auf Differentialformen):

Eine Koordinatenumgebung einer Riemannschen Fläche

X

besteht ja aus einer offenen Menge

U \subset X

und einer komplexen Karte

ϕ : U \to ϕ (U) = : V \subset ℂ

Gut, soweit ist alles klar.
Dann kann man eine differenzierbare Funktion

f : U \to ℂ

definieren dadurch, dass für jedes offene

W \subset U

und jede Karte

ψ : W \to ψ (W)

gilt

f \circ ψ^{- 1} : ψ (W) \to ℂ

ist differenzierbar.

Dann haben wir in der Vorlesung Residuen auf Riemannschen Flächen definiert und folgende Aussage dazu:

Let

X

be a Riemann surface,

U \subset X

open,

a \in X

and

α

a holomorphic 1-form on

U \ {a}

. Let

α = f \ d z

be the local expression for

α

in some hol. coordinate

z = ϕ : V \to ϕ (V) \subset ℂ

, where

V

is a neighborhood of

a

and

z (a) = 0

. Then

R e s_{0} (f \circ ϕ^{- 1})

is coordinate independent. As a consequence we can define

R e s_{a} (α) := R e s_{0} (f \circ ϕ^{- 1})

.
\\
Proof: The right-hand side is precisely

c_{- 1}

in the Laurent expansion

f (z) = \sum_{ν = - \infty}^{\infty} c_{ν} z^{ν}

.

Ich verstehe schon folgende Darstellung nicht:
Sei

z : U \to V

lokale Koordinate, betrachte

f (z)

, aber wenn

f (z)

als Verknüpfung gemeint ist, dann macht das doch keinen Sinn, denn

z (U) \subset ℂ

und

f

ist auf

U

definiert...

Ich hoffe das klingt alles nicht zu wirr und jemand hat irgendeinen Hinweis für mich was ich falsch verstehe, im Moment weiß ich irgendwie gar nicht wie ich an das Thema herangehen soll, um es zu verstehen..

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