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Homöomorphismus Beweis

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Homöomorphismus, kompakt, Metrische Räume, Stetigkeit

 
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anonymous

anonymous

10:28 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Seien X,Y metrische Räume, X sei kompakt und f:XY ist stetig und bijektiv.
Zu zeigen ist:
1)f ist ein Homöomorphismus
2) finde ein Gegenbeispiel, bei dem X nicht kompakt ist und somit f kein Homöomorphismus ist

Also zur 1)
nach der Definition des Homöomorphismus müsste man ja nur zeigen, dass f-1 stetig ist. Basierend auf der 2) würde ich sagen, dass wir hier die Kompaktheit bestimmt brauchen. Ich habe keine Idee, wie man das beweisen könnte, also habe ich mal alle direkten Folgerungen aufgeschrieben:

kompakt und stetig f(X) kompakt und f gleichmäßig stetig
stetig für alle ε>0 existiert δ>0 mit f(Uδ(a))Uε(f(a))

ich sehe noch nicht so ganz, wie mir das helfen kann

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
ermanus

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11:02 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Hallo,
zu 1: überlege dir, dass es genügt zu zeigen, dass f(A) abgeschlossen ist
für jede abgeschlossene Teilmenge A von X.
Gruß ermanus
anonymous

anonymous

13:01 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Ich habe es versucht, ich komme aber auf kein Ergebnis. Ich verstehe, dass das eine Eigenschaft von Homöomorphismen ist, aber nicht, wie ich das zeigen kann.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:06 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Eine abgeschlossene Teilmenge A eines kompakten metrischen Raumes ist
selbst kompakt. Daher ist wegen der Stetigkeit von f auch f(A) kompakt.
Da eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes abgeschlossen ist, ist f(A)
abgeschlossen.
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

14:26 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Achso, super, danke
anonymous

anonymous

14:33 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Was wäre dann mit dem Gegenbeispiel?
Antwort
ermanus

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14:37 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Sei S={(x,y):x2+y2=1} der Einheitskreis,
dann ist f:X=[0,2π)Y=S,t(cos(t),sin(t))
eine stetige bijektive Abbildung. Überlege dir, warum dies
kein Homöomorphismus sein kann.
anonymous

anonymous

17:19 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Ich bin mir da nicht sicher, aber könnten wir das Argument benutzen, was wir im Beweis benutzt hatten?
Also dass [0,2π) abgeschlossen ist, aber S nicht?

Falls das stimmt, müsste ich ja noch beweisen, dass die Mengen abgeschlossen bzw nicht abgeschlossen sind.
Antwort
ermanus

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17:28 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Nein, das wird hier nicht funktionieren. Aber die Umkehrfunktion
g:=f-1 müsste ja stetig sein, S ist beschränkt und abgeschlossen im
2, nach Heine-Borel also kompakt, also müsste bei Stetigkeit
von g das Bild g(S)=[0,2π) als stetiges Bild eines Kompaktums kompakt sein ...
anonymous

anonymous

08:31 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Und das ist es nicht? Aber warum?
Antwort
ermanus

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09:07 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Ist denn [0,2π) abgeschlossen?
anonymous

anonymous

09:31 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Nein, 2π ist ja nicht in der Menge enthalten. Wenn wir aber das Komplement der Menge nehmen (Angenommen in ), dann gibt es ja keinen Ball um 2π, der nicht die Menge [0,2π) trifft, oder?
Antwort
ermanus

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09:35 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Ich habe nicht behauptet, dass [0,2π) offen ist,
sondern behaupte nur, dass es nicht abgeschlossen ist, also
auch nicht kompakt.
Das Intervall ist weder offen, noch abgeschlossen.
2π ist ein Randpunkt.
anonymous

anonymous

09:40 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Ja, aber ich wollte zeigen, dass das Komplement nicht offen sein kann.
Antwort
ermanus

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09:42 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Oh! Da habe ich dich falsch verstanden. Das hast du damit richtig gezeigt.
anonymous

anonymous

10:17 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Und das wäre es dann mit dem Gegenbeispiel?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:30 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Klar! Damit haben wir eine stetige bijektive Abbildung gefunden,
die kein Homöomorphismus ist.
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

10:43 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Super, dankeschön!