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Homöomorphismus oder Diffeomorphismus?

Universität / Fachhochschule

Tags: Diffeomorphismus, Homöomorphismus, Immersion

joannedough aktiv_icon

20:44 Uhr, 28.02.2013

Hallo,

ich habe eine Frage zu Satz 1 aus §9, Analysis II, Otto Forster.

Dort steht:

Sei

T \subset ℝ^{k}

offen und

φ : T \to ℝ^{n}

eine Immersion. Dann gibt es zu jedem Punkt

t \in T

eine offene Umgebung

V \subset T,

so dass die Beschränkung

φ | V \to φ (V) \subset ℝ^{n}

injektiv ist und einen Homöomorphismus von

V

auf

φ (V)

darstellt.

Beweis: Für

k = n

ist dies im Satz von der Umkehrabbildung enthalten. Wir können deshalb

k < n

annehmen. Nach der Vorbemerkung 3 (war: was bedeutet voller Rang) gibt es zu einem vorgegebenen Punkt

t_{\cdot} \in T

Indizes

1 \leq i_{1} < i_{2} < . .

< i_{k} \leq n,

so dass die

k \times

k-Matrix

\frac{\partial (φ_{i_{1}}, ... ., φ_{i_{k}})}{\partial (t_{1}, ... t_{k})} (t_{\cdot})

invertierbar ist.

... .

⊙ B . d . A

(i_{1}, ..., i_{k}) = (1, ... . k)

.

Auf die Abbildung

φ_{A} := (φ_{1}, ..., φ_{k}) : T \to ℝ^{k}

können wir jetzt den Satz über die Umkehrabbildung anwenden. Es gibt also eine offene Umgebung

V \subset T

von

t_{\cdot}

und eine offene Umgebung

U \subset ℝ^{k}

von

φ_{A} (t_{\cdot}),

so dass

φ_{A} : V \to U

bijektiv ist und eine stetig differenzierbare Umkehrabbildung

ψ_{A} : U \to V \subset ℝ^{k}

besitzt. Die Beschränkung von

φ

auf

V

lässt sich schreiben als

φ = (φ_{A}, φ_{B}) : V \to U \times ℝ^{n - k}

mit

φ_{B} := (φ_{k + 1}, ..., φ_{n})

.
Da

φ_{A} : V \to U

bijektiv ist, ist auch

φ : V \to φ (V) \subset U \times ℝ^{n - k}

bijektiv und sogar ein Homöomorphismus, denn es besitzt die stetige Umkehrabbildung

ψ : φ (V) \to V, ψ (x_{1}, ..., x_{k}, ... x_{n}) := ψ_{A} (x_{1}, ..., x_{k})

□

So, jetzt meine Frage: Wieso ist

ψ

nur ein Homöomorphismus, wenn doch

ψ_{A}

stetig differenzierbar ist und

ψ

dadurch letztendlich definiert ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

23:55 Uhr, 05.03.2013

Hi,

hier geht es wahrscheinlich nur um eine Definitionsfrage. Streng genommen wäre die Funktion

Ψ_{A}

ein Diffeomorphismus der Klasse

C^{1}

(siehe Seite 97). Hier wird jedoch nur von einem Homöomorphismus gesprochen, da anschließend Untermannigfaltigkeiten eingeführt werden und dort Homöomorphismen benötigt werden. Anscheinend möchte Forster den Begriff "Diffeomorphismus" vermeiden.

Im übrigen ist wichtig, dass hier von einem Diffeomorphismus der Klasse

C^{1}

gesprochen werden müsste. Von einem "Diffeomorphismus" spricht man in der Regel erst, wenn es ein Diffeomorphismus der Klasse

C^{\infty}

geht, und einen solchen gibt der Beweis nicht her.

Lieben Gruß
Sina

joannedough aktiv_icon

00:29 Uhr, 06.03.2013

Hallo Sina,

danke für die Antwort. Ein paar Seiten vorher werden Diffeomorphismen definiert, und da werden Diffeomorphismen der Klasse

C^{s}, s \geq 1,

definiert. Daran kann es also nicht liegen.

Ich denke auch, dass er einfach für die nachfolgende Definition der Mannigfaltigkeit der Diffeomorphismus störend ist, weil er ja nicht differenzierbare Mannigfaltigkeiten definieren will.

Aber

C^{1}

ist

ψ

deiner Meinung nach auch, oder?

lg, Johanna

Sina86

08:23 Uhr, 06.03.2013

Ja, so sehe ich es auch...

Sina86

09:08 Uhr, 06.03.2013

Halt, nein, so sehe ich das nicht. Der Trick ist, dass man im Beweis mit der Hilfsfunktion

φ_{A} : V \to U \subseteq ℝ^{k}

arbeitet. Dabei identifiziert man

R^{k}

mit einer

k

-dimensionalen Hyperebene in

ℝ^{n}

. D.h.

U

ist offen in dieser Hyperebene (in der Relativtopologie), aber

U \subset ℝ^{n}

ist nicht offen. Daher macht der Begriff der Differenzierbarkeit für

Ψ

keinen Sinn.

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