Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Homogene 3D Wellengleichung

Homogene 3D Wellengleichung

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

anonymous

15:50 Uhr, 12.12.2014

Hallo,

ich soll in einer Aufgabe folgendes überprüfen:

Löst

u (\vec{x}, t) = t Ψ (\vec{x}, t)

die homogene 3D Wellenglg.

c^{2} (u_{x x} + u_{y y} + u_{z z}) = u_{t t}

mit den Anfangsbedingungen

u (\vec{x}, 0) = 0

und

u_{t} (\vec{x}, 0) = Ψ (\vec{x})

?

Dabei ist:

Ψ (\vec{x}, t) = \frac{1}{4 π} \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} d θ {\sin (θ) \times Ψ (x + c t s i n (θ) \cos (φ), y + c t s i n (θ) \sin (φ), z + c t \cos (θ))}

der Mittelwert der Anfangsanregung

Ψ (\vec{x})

über eine Kugeloberfläche mit Radius ct.

Als Hinweis ist noch gegeben:
Stellen sie zunächst die Lösung der 3D Wellengleichung im Fourierraum dar, d.h

u (\vec{x}, t) = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int d^{3} k \tilde{u} (\vec{k}, t) e^{i \vec{k} \vec{x}}

Die resultierende gewöhnliche DGL für

\tilde{u} (\vec{k}, t)

sollte ich dann unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen lösen. Bei der Rücktransformation soll diese Relation noch hilfreich sein:

\frac{1}{4 π R} \int_{∣ \vec{x} ∣ = R} d^{3} x e^{i \vec{k} \vec{x}} = \frac{s i n (k R)}{k}

Ok. schaut ja alles schoen und gut aus, aber ich habe 1. noch nicht viel mit Fouriertransf. zu tun gehabt und 2. muss ich hier ja irgendwie die Rücktransformation machen um auf

\tilde{u}

zu kommen oder? Da bringt mir die angegebene Relation nicht viel.

Ich habe versucht

u = t Ψ

in diese Gleichung für den Fourierraum einzusetzen, jedoch vereinfacht sich da nicht viel... Ich weiß nicht wie ich hier einen sinnvollen Ansatz setzen soll.

Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte!

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1204909

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?