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Homogene und inhomogene DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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Benny33

Benny33 aktiv_icon

02:00 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Hallo ich habe geradeProbleme bei einer Aufgabe :

Mein Ansatz:

u'=2u+v+3

u=2u

du/dx =2u

du/u =2dx

ln(u)=2x

u=e2xec

Jetzt für Variation der Konstanten einfach u und die Ableitung in die obige Gleichung einsetzen?

Bildschirmfoto 2018-03-11 um 01.50.37

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
michaL

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02:41 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Hallo,

ich fürchte, dass ihr das anders machen sollt, als ich es täte.

Man kann das System ja wie folgt schreiben: (uʹvʹ)=(2130)(uv)+(33)

Die Matrix A:=(2130) ist diagonalisierbar, was bedeutet, dass das System "entkoppelt" werden kann, indem man eine Substitution vornimmt. Welche, findet man durch Eigenwertrechnung heraus. Auf diese Weise kommt man relativ einfach auch auf die Lösungsallgemeinheit. Ganz ohne Variation der Konstanten.

Mfg Michael
Benny33

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12:28 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Von was soll ich genau die Eigenwerte berechnen ?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

13:54 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Hallo,

> Von was soll ich genau die Eigenwerte berechnen ?

Von der Matrix A.

Mfg Michael
Benny33

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14:30 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Was muss ich als nächstes machen ?
Ich hoffe mein Ansatz ist richtig?

Bildschirmfoto 2018-03-11 um 14.28.22
Antwort
michaL

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15:04 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Hallo,

korrekt soweit. Nun musst du zu jedem Eigenwert auch einen Eigenvektor finden, damit du die Basiswechselmatrix findest, also diejenige Matrix bzw. Basis (aus Eigenvektoren), bzgl. der die Abbildung Diagonalgestalt hat.

Mfg Michael
Benny33

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15:13 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Komme nicht mehr weiter ?

Wue löse ich das LGS?

Bildschirmfoto 2018-03-11 um 15.13.06
Antwort
michaL

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18:00 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Hallo,

x1-x2=0x1=x2, wie denn sonst?!

Mfg Michael
Benny33

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18:57 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Eigenvektor t1(1,1) richtig?
Antwort
michaL

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19:30 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Hallo,

korrekt.

Mfg Michael
Benny33

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20:05 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Eigenwert :

λ=-1

Lgs =3x1+x2=0

Was mache ich jetzt hier ?
Antwort
michaL

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20:27 Uhr, 11.03.2018

Antworten
Hallo,

nun, im Prinzip hast du eine Gleichung mit zwei Variablen. Eine davon kannst du frei wählen, die andere muss abhängig davon berechnet werden.
Versuche es doch auf analoge Weise wie bei der ersten Gleichung!

Viele Grüße

Michael
Benny33

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20:54 Uhr, 11.03.2018

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3x1+x2=0

x1=h

3h+x2=0

h=-13x2

Aber wie schreibe ich das als Vektor ?
Habe vergessen wie es ging?
Ist bisschen her alles
Antwort
ledum

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01:02 Uhr, 12.03.2018

Antworten
Hallo
die 2 Komponenten sind doch (x1,x2) die ersetzt du beide durch die Werte in h also x1=h,x2=3h
Gruß ledum
Benny33

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09:41 Uhr, 12.03.2018

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x2=-13

also

-13(h,3)

Wie kommst du darauf ?
Antwort
ledum

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11:59 Uhr, 12.03.2018

Antworten
Hallo
ich hatte ein - vergessen im letzten post, aber du liest zu ungenau
x1=h,x2=-3h führt doch zu (x1,x2)=(h,-3h) oder h(1,-3) also ist (1,-3)eine Basis.
wie du auf x2=-13 kommst ist schleierhaft, im post davor stand noch h=-13x2 ??
ein bissle länger nachdenken wär schon gut.
Gruß ledum
Benny33

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14:04 Uhr, 12.03.2018

Antworten
Wie geht es jetzt weiter ?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

18:32 Uhr, 12.03.2018

Antworten

Hallo
jetzt schreibst du die allgemeine Lsung der Dgl erst mal hin! dann machst du die Probe.
dann räts du eine Lösung der Inhomogenen und addierst sie .
Insbesondere mach mal ein oder 2 Schritte selbst.
Gruß ledum
Benny33

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23:55 Uhr, 12.03.2018

Antworten
Die Lösung sind doch irgendwie die Eigenvektoren oder ?
Antwort
michaL

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07:18 Uhr, 13.03.2018

Antworten
Hallo,

> Die Lösung sind doch irgendwie die Eigenvektoren oder ?

Hm, ich finde nicht, dass man das so sagen kann.

Mein Lösungsweg "entkoppelt" die gekoppelten Gleichungen, d.h. wenn man die Basis wechselt, hat man zwei Gleichungen, die miteinander nichts mehr zu tun haben.

Du hast doch nun schon nach viel(!) Arbeit herausgefunden, dass die Matrizen A:=(2130) und D:=(300-1) ähnlich sind.

Es führt zum Ziel, wenn du eine invertierbare Matrix T kennst, sodass D=T-1AT gilt. Dabei ist T dann eine Basiswechselmatrix von der Standardbasis in die Basis bestehend aus Eigenvektoren. Daher musst du also eine Basis aus Eigenvektoren haben. Ich habe den Faden nicht mehr weiter verfolgt, nachdem andere übernommen hatten. Daher, und weil ich auch nicht die Lust habe, es nachzuschauen, weiß ich nicht, ob du die schon berechnet hast.

Wenn ja, dann solltest du das DGL-System mal in Matrizenform aufschreiben. Wenn nicht, dann berechne zunächst eine Basis aus Eigenvektoren!

Mfg Michael
Benny33

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12:36 Uhr, 13.03.2018

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y(x)=c1+e3λ(-1,1)+c2e-1λ(3,-1)

Stimmt?
Benny33

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17:12 Uhr, 13.03.2018

Antworten
Was soll ich als nächstes machen?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:40 Uhr, 13.03.2018

Antworten
Hallo,

> Was soll ich als nächstes machen?

Nach meiner Methode? Siehe oben:
>> Daher musst du also eine Basis aus Eigenvektoren haben.
...

Mfg Michael
Benny33

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23:24 Uhr, 13.03.2018

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Was meinst du genau ?
Das verstehe ich nicht
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

07:23 Uhr, 14.03.2018

Antworten
Hallo,

hast du eine Basis aus Eigenvektoren?
Hast du eine Basiswechselmatrix von Standardbasis auf Basis aus Eigenvektoren?
Hast du die Rückwechselmatrix?
Hast du damit Matrizen T, T^{-1}, D, sodass A=TDT^{-1} gilt?
Hast du die Aufgabe in Matrizen-/Vektorform aufgeschrieben?
Siehst du, was du weiter tun musst?
Hast du noch Fragen?

Mfg Michael


PS: Bitte in der Reihenfolge abarbeiten!
Benny33

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08:29 Uhr, 14.03.2018

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Hab gar keine Ahnung wie ich das alles machen soll ?
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

11:24 Uhr, 14.03.2018

Antworten
Hallo,

meiner Meinung nach bleibt Dir, Benni33, nichts anderes übrig als mal in Dein Skript zu schauen, um zu sehen wie Ihr das technisch angegangen seid. Zum Beispiel könntest Du mal Deinen Post von gestern 12.36 Uhr erklären.

Die Ausführungen von MichaL geben die allgemeine Theorie an, setzten aber ein paar Infos zum Basiswechsel voraus.

Gruß pwm


Antwort
michaL

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15:14 Uhr, 14.03.2018

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Hallo,

ok, ich habe b1:=(11) als Eigenvektor für den Eigenwert 3, und b2:=(1-3) als Eigenvektor für de Eigenwert -1.

Damit habe ich als Basis aus Eigenvektoren B:={(11),(1-3)}.
Insbesondere ist die Basiswechselmatrix von BE gegeben durch T-1=(111-3), woraus folgt, dass die Basisrückwechselmatrix durch T=14(311-1) gegeben ist. Die zu A (s.o.) ähnliche Diagonalmatrix ist dann D:=(300-1) und es gilt: T-1DT=A

Damit lässt sich das DGL-System wie folgt schreiben:
(uʹvʹ)=T-1DT(uv)+(33)

Da das System in der Basis B NICHT gekoppelt ist, sollten alle Vektoren in er Basis B geschrieben werden. Das passt auch zur letzten Gleichung, indem wir diese von links mit T multiplizieren. Damit ergibt sich:
T(uʹvʹ)=DT(uv)+T(33), bzw, wenn du alle Vorkommen von T*Vektor ausrechnest (und am besten gleich mit 4 multiplizierst):
(3uʹ+vʹuʹ-vʹ)=(300-1)(3u+vu-v)+(120)

Hier siehst du, dass du eine Substitution vornehmen solltest: p:=3u+v, q=u-v, woraus sich pʹ=3uʹ+vʹ und qʹ=uʹ-vʹ ergeben.

Damit kannst du da System endgültig entkoppeln:
(pʹqʹ)=(300-1)(pq)+(120)

Du musst also zwei DGLn GETRENNT voneinander lösen: pʹ=3p+12 und qʹ=-q

Ich hoffe, dass du diese beiden DGLn selbst lösen kannst.
Wenn du damit fertig bist, musst du zurücksubstituieren und kommst damit auf die allgemeine Lösung.

Mfg Michael
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