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Homogene und inhomogene DGL

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Benny33 aktiv_icon

02:00 Uhr, 11.03.2018

Hallo ich habe geradeProbleme bei einer Aufgabe :

Mein Ansatz:

u' = 2 u + v + 3

u

= 2 u

du/dx

= 2 u

du/u

= 2 d x

ln (u) = 2 x

u = e^{2 x} \cdot e^{c}

Jetzt für Variation der Konstanten einfach

u

und die Ableitung in die obige Gleichung einsetzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

02:41 Uhr, 11.03.2018

Hallo,

ich fürchte, dass ihr das anders machen sollt, als ich es täte.

Man kann das System ja wie folgt schreiben:

(\begin{array}{c} u ʹ \\ v ʹ \end{array}) = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} u \\ v \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})

Die Matrix

A := (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array})

ist diagonalisierbar, was bedeutet, dass das System "entkoppelt" werden kann, indem man eine Substitution vornimmt. Welche, findet man durch Eigenwertrechnung heraus. Auf diese Weise kommt man relativ einfach auch auf die Lösungsallgemeinheit. Ganz ohne Variation der Konstanten.

Mfg Michael

Benny33 aktiv_icon

12:28 Uhr, 11.03.2018

Von was soll ich genau die Eigenwerte berechnen ?

michaL aktiv_icon

13:54 Uhr, 11.03.2018

Hallo,

> Von was soll ich genau die Eigenwerte berechnen ?

Von der Matrix

A

.

Mfg Michael

Benny33 aktiv_icon

14:30 Uhr, 11.03.2018

Was muss ich als nächstes machen ?
Ich hoffe mein Ansatz ist richtig?

michaL aktiv_icon

15:04 Uhr, 11.03.2018

Hallo,

korrekt soweit. Nun musst du zu jedem Eigenwert auch einen Eigenvektor finden, damit du die Basiswechselmatrix findest, also diejenige Matrix bzw. Basis (aus Eigenvektoren), bzgl. der die Abbildung Diagonalgestalt hat.

Mfg Michael

Benny33 aktiv_icon

15:13 Uhr, 11.03.2018

Komme nicht mehr weiter ?

Wue löse ich das LGS?

michaL aktiv_icon

18:00 Uhr, 11.03.2018

Hallo,

x_{1} - x_{2} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x_{1} = x_{2}

, wie denn sonst?!

Mfg Michael

Benny33 aktiv_icon

18:57 Uhr, 11.03.2018

Eigenvektor

t 1 \cdot (1,1)

richtig?

michaL aktiv_icon

19:30 Uhr, 11.03.2018

Hallo,

korrekt.

Mfg Michael

Benny33 aktiv_icon

20:05 Uhr, 11.03.2018

Eigenwert :

λ = - 1

Lgs

= 3 x_{1} + x_{2} = 0

Was mache ich jetzt hier ?

michaL aktiv_icon

20:27 Uhr, 11.03.2018

Hallo,

nun, im Prinzip hast du eine Gleichung mit zwei Variablen. Eine davon kannst du frei wählen, die andere muss abhängig davon berechnet werden.
Versuche es doch auf analoge Weise wie bei der ersten Gleichung!

Viele Grüße

Michael

Benny33 aktiv_icon

20:54 Uhr, 11.03.2018

3 x_{1} + x_{2} = 0

x_{1} = h

3 h + x_{2} = 0

h = - \frac{1}{3} \cdot x_{2}

Aber wie schreibe ich das als Vektor ?
Habe vergessen wie es ging?
Ist bisschen her alles

ledum aktiv_icon

01:02 Uhr, 12.03.2018

Hallo
die 2 Komponenten sind doch

(x_{1}, x_{2})

die ersetzt du beide durch die Werte in

h

also

x_{1} = h, x_{2} = 3 h

Gruß ledum

Benny33 aktiv_icon

09:41 Uhr, 12.03.2018

x_{2} = - \frac{1}{3}

also

- \frac{1}{3} \cdot (h, 3)

Wie kommst du darauf ?

ledum aktiv_icon

11:59 Uhr, 12.03.2018

Hallo
ich hatte ein - vergessen im letzten post, aber du liest zu ungenau

x_{1} = h, x_{2} = - 3 h

führt doch zu

(x_{1}, x_{2}) = (h, - 3 h)

oder

h \cdot (1, - 3)

also ist (1,-3)eine Basis.
wie du auf

x_{2} = - \frac{1}{3}

kommst ist schleierhaft, im post davor stand noch

h = - \frac{1}{3} \cdot x_{2}

??
ein bissle länger nachdenken wär schon gut.
Gruß ledum

Benny33 aktiv_icon

14:04 Uhr, 12.03.2018

Wie geht es jetzt weiter ?

ledum aktiv_icon

18:32 Uhr, 12.03.2018

Hallo
jetzt schreibst du die allgemeine Lsung der Dgl erst mal hin! dann machst du die Probe.
dann räts du eine Lösung der Inhomogenen und addierst sie .
Insbesondere mach mal ein oder 2 Schritte selbst.
Gruß ledum

Benny33 aktiv_icon

23:55 Uhr, 12.03.2018

Die Lösung sind doch irgendwie die Eigenvektoren oder ?

michaL aktiv_icon

07:18 Uhr, 13.03.2018

Hallo,

> Die Lösung sind doch irgendwie die Eigenvektoren oder ?

Hm, ich finde nicht, dass man das so sagen kann.

Mein Lösungsweg "entkoppelt" die gekoppelten Gleichungen, d.h. wenn man die Basis wechselt, hat man zwei Gleichungen, die miteinander nichts mehr zu tun haben.

Du hast doch nun schon nach viel(!) Arbeit herausgefunden, dass die Matrizen

A := (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array})

und

D := (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})

ähnlich sind.

Es führt zum Ziel, wenn du eine invertierbare Matrix

T

kennst, sodass

D = T^{- 1} A T

gilt. Dabei ist

T

dann eine Basiswechselmatrix von der Standardbasis in die Basis bestehend aus Eigenvektoren. Daher musst du also eine Basis aus Eigenvektoren haben. Ich habe den Faden nicht mehr weiter verfolgt, nachdem andere übernommen hatten. Daher, und weil ich auch nicht die Lust habe, es nachzuschauen, weiß ich nicht, ob du die schon berechnet hast.

Wenn ja, dann solltest du das DGL-System mal in Matrizenform aufschreiben. Wenn nicht, dann berechne zunächst eine Basis aus Eigenvektoren!

Mfg Michael

Benny33 aktiv_icon

12:36 Uhr, 13.03.2018

y (x) = c_{1} + e^{3 λ} \cdot (- 1,1) + c_{2} \cdot e^{- 1 λ} \cdot (3, - 1)

Stimmt?

Benny33 aktiv_icon

17:12 Uhr, 13.03.2018

Was soll ich als nächstes machen?

michaL aktiv_icon

22:40 Uhr, 13.03.2018

Hallo,

> Was soll ich als nächstes machen?

Nach meiner Methode? Siehe oben:
>> Daher musst du also eine Basis aus Eigenvektoren haben.
...

Mfg Michael

Benny33 aktiv_icon

23:24 Uhr, 13.03.2018

Was meinst du genau ?
Das verstehe ich nicht

michaL aktiv_icon

07:23 Uhr, 14.03.2018

Hallo,

hast du eine Basis aus Eigenvektoren?
Hast du eine Basiswechselmatrix von Standardbasis auf Basis aus Eigenvektoren?
Hast du die Rückwechselmatrix?
Hast du damit Matrizen

T

T^{- 1}

D

, sodass

A = T D T^{- 1}

gilt?
Hast du die Aufgabe in Matrizen-/Vektorform aufgeschrieben?
Siehst du, was du weiter tun musst?
Hast du noch Fragen?

Mfg Michael

PS: Bitte in der Reihenfolge abarbeiten!

Benny33 aktiv_icon

08:29 Uhr, 14.03.2018

Hab gar keine Ahnung wie ich das alles machen soll ?

pwmeyer aktiv_icon

11:24 Uhr, 14.03.2018

Hallo,

meiner Meinung nach bleibt Dir, Benni33, nichts anderes übrig als mal in Dein Skript zu schauen, um zu sehen wie Ihr das technisch angegangen seid. Zum Beispiel könntest Du mal Deinen Post von gestern

12.36

Uhr erklären.

Die Ausführungen von MichaL geben die allgemeine Theorie an, setzten aber ein paar Infos zum Basiswechsel voraus.

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

15:14 Uhr, 14.03.2018

Hallo,

ok, ich habe

{\vec{b}}_{1} := (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array})

als Eigenvektor für den Eigenwert 3, und

{\vec{b}}_{2} := (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array})

als Eigenvektor für de Eigenwert

- 1

.

Damit habe ich als Basis aus Eigenvektoren

B := {(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \end{array})}

.
Insbesondere ist die Basiswechselmatrix von

B \to E

gegeben durch

T^{- 1} = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array})

, woraus folgt, dass die Basisrückwechselmatrix durch

T = \frac{1}{4} (\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array})

gegeben ist. Die zu

A

(s.o.) ähnliche Diagonalmatrix ist dann

D := (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array})

und es gilt:

T^{- 1} D T = A

Damit lässt sich das DGL-System wie folgt schreiben:

(\begin{array}{c} u ʹ \\ v ʹ \end{array}) = T^{- 1} D T (\begin{array}{c} u \\ v \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})

Da das System in der Basis

B

NICHT gekoppelt ist, sollten alle Vektoren in er Basis

B

geschrieben werden. Das passt auch zur letzten Gleichung, indem wir diese von links mit

T

multiplizieren. Damit ergibt sich:

T (\begin{array}{c} u ʹ \\ v ʹ \end{array}) = D T (\begin{array}{c} u \\ v \end{array}) + T (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})

, bzw, wenn du alle Vorkommen von

T

*Vektor ausrechnest (und am besten gleich mit 4 multiplizierst):

(\begin{array}{c} 3 u ʹ + v ʹ \\ u ʹ - v ʹ \end{array}) = (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 u + v \\ u - v \end{array}) + (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \end{array})

Hier siehst du, dass du eine Substitution vornehmen solltest:

p := 3 u + v

q = u - v

, woraus sich

p ʹ = 3 u ʹ + v ʹ

und

q ʹ = u ʹ - v ʹ

ergeben.

Damit kannst du da System endgültig entkoppeln:

(\begin{array}{c} p ʹ \\ q ʹ \end{array}) = (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} p \\ q \end{array}) + (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \end{array})

Du musst also zwei DGLn GETRENNT voneinander lösen:

p ʹ = 3 p + 12

und

q ʹ = - q

Ich hoffe, dass du diese beiden DGLn selbst lösen kannst.
Wenn du damit fertig bist, musst du zurücksubstituieren und kommst damit auf die allgemeine Lösung.

Mfg Michael

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