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Funktionalanalysis

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Mengentheoretische Topologie

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Mengentheoretische Topologie

 
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mathestudent-111

mathestudent-111 aktiv_icon

17:31 Uhr, 19.10.2019

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Hallo Zusammen

Ich suche eine Funktion, welche folgende Eigenschaften erfüllt.

Ich muss einen Homöomorphismus erstellen (funktion bijektiv, stetig, und umkehrbar stetig)
vom Einheitskreis in R^n nach sich selber. Die Bedingung f(x) = y. x muss jedoch ungleich y sein. Also fällt die identische Abbildung schon mal weg. Ich habe nur Werte in (-1,1).

Mein grosses Problem ist der Ursprung. Wenn ich spiegeln oder drehen möchte wird der Ursprung immer auf sich selbst abgebildet und somit hätte ich f(x) = x.

Hat jemand eine Idee?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ermanus

ermanus aktiv_icon

17:46 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Hallo,
ganz klar hast du deine Aufgabe ja nicht gerade formuliert.
Meinst du die Einheitskreisscheibe (Vollkreis) D2 im 2,
also einen Homöomorphismus von D2 auf D2?
Gruß ermanus
mathestudent-111

mathestudent-111 aktiv_icon

18:55 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Gemeint ist B^n ={x R^n: ||x||<1}
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:58 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Ah! Die offene Einheitskugel ...
Denke darüber nach ;-)
mathestudent-111

mathestudent-111 aktiv_icon

10:33 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Vielleicht habe ich ein kleines Detail übersehen. Denn für mich gibt es keine solche Funktion. Ich sende mal die komplette Aufgabe.

aufgabe_A
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ermanus

ermanus aktiv_icon

11:28 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Ich finde, dass es zu jedem Punktepaar xy im Inneren der
Kugel eine solche Abbildung geben muss. Anschaulich sehe ich kein
Problem darin. Im Falle n=2 stelle ich mir eine Gummimembran,
die in einen Drahtring eingespannt ist, vor. Dann kann ich durch
Verzerrung der Membran jeden Punkt z.B. in den Mittelpunkt des Drahtringes bringen
und da die Randpunkte fixiert sind, sind alle Forderungen erfüllt.
Habe leider noch keine formale Konstruktion hierfür, denke aber weiter
darüber nach ...
Gruß ermanus
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ermanus

ermanus aktiv_icon

16:15 Uhr, 20.10.2019

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Hallo,
was ich mir da so zusammengebastelt habe, ist sicher nicht der Hit,
könnte aber brauchbar sein:

Teil 1: seien x und y Punkte auf demselben Radius der Kugel,
d.h. es gebe ein λ>0, so dass y=λx ist.
Ferner seien x,y0 und ohne Einschränkung der Allgemeinheit
yx.
Dann gibt es eine streng monotone stetige Funktion
f:[0,1][0,1] mit der Eigenschaft, dass f(0)=0,f(1)=1 und f(x)=yx ist.
Dann ist offenbar die Abbildung
BnBn,pf(p)p ein Hömöomorphismus,
der x in y überführt und die Punkte auf dem Rand der Kugel fix lässt.

Der 2-te Teil folgt demnächst ...

Gruß ermanus

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:33 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Hier nun Teil 2: Es mögen jetzt xx und yy verschieden sein,
weiterhin aber x,y0. Dann gibt es ein Element DO(n), so dass
D(y)Dy=xx ist. Die Elemente aus O(n) sind natürlich Homöomorphismen.
Ist nun y=x, dann ist D:BnBn
der gesuchte Homöomorphismus. Sind die Normen hingegen verschieden,
so wende man auf die Punkte Dy und x den Homoöomorphismus aus Teil 1 an.

In Teil 3 spreche ich über das ärgerliche Problem,
dass einer der Punkte der Ursprung sein kann :(

Gruß ermanus


Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:33 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Hallo,

sorry :(

mein letzter Beitrag war nicht richtig, da der dort angegebene
Hömomorphismus die Einheitssphäre mitgedreht hat.
Mal sehen, was noch zu retten ist ...

Vielleicht hat jemand einen ganz anderen Ansatz?

Gruß ermanus

P.S.: Habe gerade eine neue Idee, die ohne Drehungen auskommt,
kann sie aber erst in ca. 2,5 Stunden aufschreiben, da ich offline
gehen muss.
mathestudent-111

mathestudent-111 aktiv_icon

13:50 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Ich musste heute die Aufgabe abgeben und es wurden die Musterlösungen hochgeladen.

Dies ist Ihr Ansatz.

Vielen Dank für deinen enormen Einsatz!

Ansatz
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:50 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Hallo,
die Funktion h aus der Musterlösung erinnert an mein f.
Ich werde nun nicht weiter über die Sache nachdenken.
Vielen Dank für die Rückmeldung und weiterhin so interessante
Aufgaben ;-)

Gruß ermanus