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Homogener Raum
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Funktionen
Mengentheoretische Topologie
Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Mengentheoretische Topologie
 
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Hallo Zusammen Ich suche eine Funktion, welche folgende Eigenschaften erfüllt. Ich muss einen Homöomorphismus erstellen (funktion bijektiv, stetig, und umkehrbar stetig) vom Einheitskreis in R^n nach sich selber. Die Bedingung f(x) = y. x muss jedoch ungleich y sein. Also fällt die identische Abbildung schon mal weg. Ich habe nur Werte in (-1,1). Mein grosses Problem ist der Ursprung. Wenn ich spiegeln oder drehen möchte wird der Ursprung immer auf sich selbst abgebildet und somit hätte ich f(x) = x. Hat jemand eine Idee? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ganz klar hast du deine Aufgabe ja nicht gerade formuliert. Meinst du die Einheitskreisscheibe (Vollkreis) im , also einen Homöomorphismus von auf ? Gruß ermanus |
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Gemeint ist B^n ={x R^n: ||x||<1} |
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Ah! Die offene Einheitskugel ... Denke darüber nach ;-) |
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Vielleicht habe ich ein kleines Detail übersehen. Denn für mich gibt es keine solche Funktion. Ich sende mal die komplette Aufgabe.  |
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Ich finde, dass es zu jedem Punktepaar im Inneren der Kugel eine solche Abbildung geben muss. Anschaulich sehe ich kein Problem darin. Im Falle stelle ich mir eine Gummimembran, die in einen Drahtring eingespannt ist, vor. Dann kann ich durch Verzerrung der Membran jeden Punkt z.B. in den Mittelpunkt des Drahtringes bringen und da die Randpunkte fixiert sind, sind alle Forderungen erfüllt. Habe leider noch keine formale Konstruktion hierfür, denke aber weiter darüber nach ... Gruß ermanus |
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Hallo, was ich mir da so zusammengebastelt habe, ist sicher nicht der Hit, könnte aber brauchbar sein: Teil 1: seien und Punkte auf demselben Radius der Kugel, d.h. es gebe ein , so dass ist. Ferner seien und ohne Einschränkung der Allgemeinheit . Dann gibt es eine streng monotone stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass und ist. Dann ist offenbar die Abbildung ein Hömöomorphismus, der in überführt und die Punkte auf dem Rand der Kugel fix lässt. Der 2-te Teil folgt demnächst ... Gruß ermanus |
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Hier nun Teil 2: Es mögen jetzt und verschieden sein, weiterhin aber . Dann gibt es ein Element , so dass ist. Die Elemente aus sind natürlich Homöomorphismen. Ist nun , dann ist der gesuchte Homöomorphismus. Sind die Normen hingegen verschieden, so wende man auf die Punkte und den Homoöomorphismus aus Teil 1 an. In Teil 3 spreche ich über das ärgerliche Problem, dass einer der Punkte der Ursprung sein kann :( Gruß ermanus |
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Hallo, sorry :( mein letzter Beitrag war nicht richtig, da der dort angegebene Hömomorphismus die Einheitssphäre mitgedreht hat. Mal sehen, was noch zu retten ist ... Vielleicht hat jemand einen ganz anderen Ansatz? Gruß ermanus P.S.: Habe gerade eine neue Idee, die ohne Drehungen auskommt, kann sie aber erst in ca. 2,5 Stunden aufschreiben, da ich offline gehen muss. |
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Ich musste heute die Aufgabe abgeben und es wurden die Musterlösungen hochgeladen. Dies ist Ihr Ansatz. Vielen Dank für deinen enormen Einsatz!  |
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Hallo, die Funktion aus der Musterlösung erinnert an mein . Ich werde nun nicht weiter über die Sache nachdenken. Vielen Dank für die Rückmeldung und weiterhin so interessante Aufgaben ;-) Gruß ermanus |
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