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Homogenes Gleichungssystem -> Erzeugendensystem

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Tags: Erzeugendensystem, homogene Gleichung, Lineare Unabhängigkeit, Unterraum

emilie aktiv_icon

13:02 Uhr, 07.05.2015

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe, bei der ich ein wenig Hilfe benötige.
Evtl die einzelnen Schritte, die ich vorgehen muss. Ein kompletter Rechnenweg ist nicht nötig :-)

Finde, falls möglich, zwei unterschiedliche Erzeugendensysteme für die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems, das durch die erweiterte Koeffizientenmatrix beschrieben ist. Begründe deine Antwort.

(\begin{matrix} 3 & - 1 & 7 & - 6 & | & 0 \\ 4 & - 1 & 9 & - 7 & | & 0 \\ - 2 & 1 & - 5 & 5 & | & 0 \end{matrix})

Danke schon mal !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

13:22 Uhr, 07.05.2015

Hallo,

kannst Du die allgemeine Lösung eines solchen Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren bestimmen? Wenn ja, dann tue das - die Antwort wird sich dann aus der Lösung ergeben.

Gruß pwm

emilie aktiv_icon

23:47 Uhr, 07.05.2015

Habe das Gleichungssystem nun mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren gelöst und ich bekomme eine Nullzeile. Das bedeutet ja nun, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Aber was bedeutet das nun für das Erzeugendensystem??

pwmeyer aktiv_icon

10:49 Uhr, 08.05.2015

Genau 1 Nullzeile bedeutet, dass Du 2 Variablen frei wählen kannst. Demnach kannst Du die Lösungsmenge als Linearkombination aus 2 linear unabhängigen Vektoren schreiben. Diese Vektoren kannst Du unterschiedlich wählen.

Wenn Du mehr Hilfe brauchst, schreibst Du am besten mal Deine Lösung hierhin.

Gruß pwm

emilie aktiv_icon

11:26 Uhr, 08.05.2015

Ich bekomme folgende Matrix raus:

(\begin{matrix} - 2 & 1 & - 5 & 5 & | & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})

Durch Umformungen bekomme ich für

λ = 2 σ - τ

und für

μ = σ - 3 τ

Die triviale Lösung dieses LGS ist

λ = μ = σ = τ = 0

Die nichttriviale Lösung ist die Lösungsmenge

L = {(2 σ - τ, σ - 3 τ, σ, τ) | σ, τ \in ℝ}

Und nun zu den Erzeugendensysteme - wie gehe ich da jetzt vor?

ledum aktiv_icon

11:38 Uhr, 08.05.2015

Hallo
das schreibst du besser als Lösungsvektoren

r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

dann hast di mit den 2 Vektoren hinter

r

und

s

ein Erzeugendensystem.
wenn du statt dein

σ

und

τ

(bei mir

r, s λ

und

μ

ausdruckst, bekommst du ein anderes.
Gruß ledum

emilie aktiv_icon

11:50 Uhr, 08.05.2015

Ah okay, vielen Dank ! :-)

Wie sieht es denn aus wenn, ich so eine Matrix habe

(\begin{matrix} 1 & - 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})

Als Lösungsmenge bekomme ich

L = {(2 μ, μ)}

Es gibt in diesem Fall wohl kein Erzeugendensystem, da Rang bzw.

dim = 1

ledum aktiv_icon

12:32 Uhr, 08.05.2015

Hallo
jetzt hast du nur einen lerzeugenden Vektor, wie sieht der aus?
Gruß ledum

emilie aktiv_icon

14:11 Uhr, 08.05.2015

Ich nehme mal an

μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

Wenn ich nach

λ

umstelle, sollte ein zweites Erzeugungsvektor bzw. ein anderes Erzeugendensystem bekommen?

ledum aktiv_icon

19:31 Uhr, 08.05.2015

Hallo
das

μ

lässt man weg, der Vektor

(2,1)

ist das ES.
das ES sind immer Vektoren, die den gesamten unterraum durch linearkombination erzeugen, die Koeffizienten schreibt man nicht dazu.

Gruß ledum

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