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Homologie eines Torus mit Loch

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Tags: Algebraische Topologie, CW-Komplex, Homologie

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19:29 Uhr, 04.09.2011

Hallo,

ich versuche die erste Homologiegruppe eines Torus mit einem Loch zu berechnen (über einen allgemeinen Ring R), d.h. einem Loch in einem Torusmantel. Schneide ich den Torus auseinander, erhalte ich ein Viereck mit einem Loch im Inneren. Nun mache ich eine CW-Zerlegung davon (im Anhang befindet sich auch eine entsprechende Skizze). Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe, es wäre schön, wenn es sich jemand anschauen würde und mir sagen könnte, ob ich irgendwo einen Denkfehler habe (gerade beim Abbildungsgrad).

Ich habe eine Zerlegung in zwei 0-Zellen, vier 1-Zellen und eine 2-Zelle. Der Punkt x sowie die Kanten a und c sind diejenigen, die auch bei einem Standardtorus verwendet werden. Der Punkt y liegt auf dem Kreisrand des ausgeschnittenen Kreises, die Kante c verbindet x und y und d umschließt das Loch. In diese Konstruktion kann ich nun die 2-Zelle D einkleben.

Nun habe ich mir folgendes überlegt:

C_{2} (T) = R

C_{1} (T) = R^{4}

C_{0} (T) = R^{2}

und ich erhalte so die Sequenz

0 \to C_{2} (T) \to C_{1} (T) \to C_{0} (T) \to 0

mit den Randfunktionen

δ_{i} : C_{i} (T) \to C_{i - 1}

, i=1,2

Nun sagt das Buch von Hatcher, dass es für

δ_{2}

eine Formel gibt (die ist etwas lang, deswegen lass ich die mal weg, aber ich denke die ist bei Kundigen in diesem Gebiet bekannt). Diese verwendet den Grad einer Abbildung, der jedoch für Funktionen

C_{1} (T) \to C_{0} (T)

nicht definiert ist. Jedoch sagt Hatcher hier, man berechne einfach die simpliziale Abbildung, ich verstehe das so:

δ_{1} (a) = δ_{1} (c) = x - x = 0; δ_{1} (d) = y - y = 0; δ_{1} (b) = y - x

(ich habe also die Orientierung b=(x,y)). Demnach ist

k e r (δ_{1}) = s p a n (a, c, d)

.

Nun Berechne ich

δ_{2} (D)

, tue mich aber mit der Formel von Hatcher schwer, da ich den Abbildungsgrad der Klebefunktion verknüpft mit der Quotietenabbildung berechnen muss, die den gesamten Raum bis auf ein Seitensegment zusammenzieht (und so wieder eine

S^{1}

bildet), und die Summe über alle Seitensegmente bilden muss. Nun stelle ich mir das so vor: Ich klebe den Rand von D von x entlang a, dann entlang b, entlang d um das Loch, -b zurück zu x, dann c, dann -a, -c. Ich versuche mir nun vorzustellen, was der Abbildungsgrad sagt und denke, der sagt mir, dass ich z.B. erst entlang des Seitensegments a gehe, später jedoch -a zurückgehe und ich mich deswegen nicht bewegt habe. Also ist der Abbildungsgrad hier =0. Ebenso für b und c. Es bleibt nur d übrig, den ich nur einmal entlanglaufe. Somit habe ich

i m (δ 2) = s p a n (d)

und erhalte die Homologiegruppe

H_{1} (T) = \frac{k e r δ_{1}}{i m δ_{2}} = \frac{s p a n (a, c, d)}{s p a n (d)} ≅ s p a n (a, c) ≅ R^{2}

mit den Erzeugern a und c, und ist somit dieselbe wie die des Torus ohne Loch...

Gruß
Tobias

Edit: Die Eckpunkte in der Skizze sind derselbe Punkt x

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