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Homomorphiesatz Anwendung
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: Vektorraum
 
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Hallo zusammen, ich bearbeite die folgende Aufgabe: Seien V,W K-Vektorräume, a:V->W eine lineare Abbildung und U<=V ein Unterraum mit U<=Kern(a). Sei b: V/U->W, v+U-> a(v) eine weitere lineare Abbildung. z.z. Kern (b) isomorph zu Kern(a)/U. Meine Idee ist es, dies mit dem Homomorphiesatz zu zeigen. Also suche ich eine surjektive lineare Abbildung ker(a)→ker(b) mit Kern U Also in Kern(a) sind alle v aus V, für die gilt a(v)=0. In Kern(b) sind alle Äquivalenzklassen [v]/U, für die gilt a([v]/U)=0. Aber irgendwie komme ich nicht weiter.. Vielen Dank für eure Hilfe!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Du braucht keine spezielle Abbildung, du kannst einfach die Standardabbildung , also nutzen. Denn wenn in Kern(b), dann , also in Kern . Und umgekehrt, wenn in Kern , dann , also ist in Kern . Damit ist Kern(b)=(Kern(a)) Im Übrigen musst du normalerweise zeigen, dass überhaupt wohldefiniert ist. |
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Vielen Dank für deine Hilfe! Zeige ich die Wohldefiniertheit von b, indem ich Repräsentantenunabhängigkeit und Linearität überprüfe? |
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"Zeige ich die Wohldefiniertheit von b, indem ich Repräsentantenunabhängigkeit und Linearität überprüfe?" Ja, genau |
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Ist das so passend? Danke! zur Linearität: v+U,v´+U Element V/U, a,b Element V b(a(v+U)+b(v´+U))=a(av+bv´) wegen Linearität von a a(av+bv´) =aa(v)+ba(v´)=ab(v)+bb(v´) zur Repräsentantenunabhängigkeit Sei v+U=v´+U b(v´+U)=a(v´)=a(v´)+a(v-v´)=a(v)=b(v+U) |
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Da du a und b als Abbildungen hast, sollst du andere Koeffizienten verwenden, sonst ist nicht leserlich. "zur Repräsentantenunabhängigkeit" Da fehlen mir paar Worte Begründung. Im Zweifel mehr Worte schreiben, dass Mathe auch ohne Worte geht ist in meinen Augen ein Irrtum. :-) |
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Vielen Dank, ich werde meine Beweis noch ausführen und a,b umbenennen |
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"Denn wenn x+U in Kern(b), dann b(x+U)=a(x)=0, also x in Kern a. Und umgekehrt, wenn x in Kern a, dann b(x+U)=a(x)=0, also ist x+U in Kern b. Damit ist Kern(b)=π(Kern(a))." Kann ich das auch mit dem Homomorphiesatz begründen? |
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"Kann ich das auch mit dem Homomorphiesatz begründen?" Weiß nicht, kannst versuchen. |
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