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Homomorphiesatz für Ringe

Universität / Fachhochschule

Tags: Homomorphismus, Ideal, Kern, Ring

Nick2344 aktiv_icon

23:37 Uhr, 19.04.2018

Hallo,
es geht um den Homo.-satz für Ringe:
Sei

φ : R \to R'

ein Ringhomo. mit I

\subset

ker

π

und

π : R \to \frac{R}{I}

dann ex. genau

φ' : \frac{R}{I} \to R'

Ich verstehe dabei nicht, warum die Voraussetzung I

\subset

ker

π

.
Kann mir das jmd erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

07:38 Uhr, 20.04.2018

Hallo,

so, wie du es aufgeschrieben hast, ist das nicht der Homomorphiesatz. Kann es sein, dass da noch etwas über ein Kommutieren der Abbildungen stehen muss, etwa

φ = φ ʹ \circ π

?

Wenn es um den Beweis geht, solltest du die Abbildung

φ ʹ : R / I \to R ʹ, x + I \mapsto φ (x)

untersuchen.
Es gibt im Netz zuhauf Quellen, in denen auch ein Beweis steht. So, wie er oben formuliert ist (mit der Ergänzung) ist etwa bei der Uni Dortmund (google nach Homomorphiesatz Ringe).

Die Forderung

I \subseteq \ker (φ)

ist nötig, da die Kommutativität nicht für beliebige "Projektionen"

π

gegeben ist.
Denn bedenke, dass die Definition von

φ ʹ

notwendig ist (dass sie auch hinreichend ist, ist Teil des Beweises). Wenn nun

I \subseteq \ker (φ)

NICHT gälte, würden Elemente durch die Projektion

π

auf Null abgebildet werden, die per

φ

NICHT auf Null abgebildet werden. Das kann ja nicht klappen!

Ich habe die Isomorphiesätze (egal für welche algebraische Struktur) auch anders kennen gelernt: Jeder Homomorphismus

φ : R \to S

(egal welcher algebraischen Struktur) kann in einen surjektiven Anteil

π : R \to R / \ker (φ)

, einen bijektiven Anteil

ψ : R / \ker (φ) \to Im (φ)

und einen injektiven Anteil

ι : Im (φ) \to S

zerlegt werden, sodass

φ = ι \circ ψ \circ π

gilt.

Mfg Michael

Nick2344 aktiv_icon

07:48 Uhr, 20.04.2018

Hallo,
Ja dieser Zusatz fehlt.
Du schreibst:
Die Forderung I&sube;ker(φ) ist nötig, da die Kommutativität nicht für beliebige "Projektionen" π gegeben ist.
Kannst du das genauer erklären. Ich verstehe das noch nicht.

michaL aktiv_icon

10:11 Uhr, 20.04.2018

Hallo,

> Du schreibst:
> Die Forderung I&sube;ker(φ-) ist nötig, da die Kommutativität nicht für beliebige
> "Projektionen" π gegeben ist.
> Kannst du das genauer erklären. Ich verstehe das noch nicht.

Nun, ich schrieb ja auch
>> Wenn es um den Beweis geht, solltest du die Abbildung

φ ʹ : R / I \to R ʹ, x + I \mapsto φ (x)

untersuchen.
Und außerdem:
>> Die Forderung

I \subseteq \ker (φ)

ist nötig, da die Kommutativität nicht für beliebige "Projektionen"

π

gegeben ist.
>>Denn bedenke, dass die Definition von

φ ʹ

notwendig ist (dass sie auch hinreichend ist, ist Teil des Beweises).
>> Wenn nun

I \subseteq \ker (φ)

NICHT gälte, würden Elemente durch die Projektion

π

auf Null abgebildet werden, die per
>>

φ

NICHT auf Null abgebildet werden.

Mein Vorschlag: Schaue dir doch erst einmal den Beweis MIT der entsprechenden Voraussetzung

I \subseteq \ker (φ)

an. Versuche, den zu verstehen.
Danach kannst du überlegen, an welcher Stelle diese Voraussetzung gebraucht wird und ob man sie weglassen kann.

Mfg Michael

Nick2344 aktiv_icon

23:10 Uhr, 20.04.2018

Danke für deinen Tipp. Es ist jetzt klar geworden:-)

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