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Homomorphismus-Beweis

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, innerer Automorphismus

Sabine2 aktiv_icon

18:27 Uhr, 20.10.2013

Hallo,
wie fängt man an, wenn man zeigen soll, dass die Abbildung, die einem Gruppenelement $g \in G$ den inneren Automorphismus $C_{g :} G \to G, a \mapsto C_{g} (a) = g a g^{- 1}$ zuordnet, einen Homomorphismus $C : G \to A u t (G)$ definiert?

Ich würde meine Ideen ja gerne aufschreiben, aber leider gibt es im Moment nichts aufzuschreiben...
Danke für eure Ansätze!
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:43 Uhr, 20.10.2013

Hallo,

hm, welche Axiome muss man denn auf Gültigkeit prüfen?

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

18:52 Uhr, 20.10.2013

Ich hab wirklich garkeine Ahnung. Mir ist nicht mal klar, was die Abbildung eigentlich macht. Wieso schreibt man $g a g^{- 1}$ und nicht einfach a ? $g$ und $g^{- 1}$ heben sich doch auf...

Also ganz allgemein ist eine Abbildung $φ : G \to H$ ein Homomorphismus $(G, H$ Gruppen mit $\cdot$ und $\circ a$ ls Multiplikation), wenn $φ (a \cdot b) = φ (a) \circ φ (b),$ für $a, b \in G$ .

michaL aktiv_icon

20:24 Uhr, 20.10.2013

Hallo,

> Wieso schreibt man $g a g^{- 1}$ und nicht einfach $a$ ? $g$ und $g^{- 1}$ heben sich doch auf...

Nein, i.a. nicht. Das tun sie nur, wenn sie nebeneinander stehen. Um sie nebeneinander zu bekommen, müsste aber i.a. das Kommutativgesetz gelten. Das gilt aber nicht immer. Also darfst von dessen Gültigkeit nicht ausgehen!

> Also ganz allgemein ist eine Abbildung φ:G→H ein Homomorphismus (G,H Gruppen mit ⋅ und ∘a ls Multiplikation), wenn
> φ(a⋅b)=φ(a)∘φ(b), für a,b∈G.

Korrekt. Ein Automorphismus ist insbesondere ein Homomorphismus. Und dessen beschreibendes Axiom hast du korrekt widergegeben.
Nun musst du seine Gültigkeit (unter anderem) noch nachweisen.

> Ich hab wirklich garkeine Ahnung.

Das ist nicht so gut. Aber keine Sorge, alles, was du brauchst, sollte kürzllich in der Vorlesung drangekommen sein.

> Mir ist nicht mal klar, was die Abbildung eigentlich macht.

Nun, ein Element $a$ wird durch $C_{g}$ auf das Element $g a g^{- 1}$ abgebildet. Was willst du daran verstehen?!

Mach doch erst einmal den Nachweis des Homomorphismus'!

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

20:55 Uhr, 20.10.2013

Aber $C_{g}$ ist doch nicht der Homomorphismus.. oder doch?
Ich verstehe das so, dass ein $g$ auf $C_{g}$ abgebildet wird. Und das soll dann ein Homomorphismus sein, der $C$ heißt. Ich soll also zeigen, dass $C : G \to A u t (G), g \mapsto C_{g}$ ein Homomorphismus ist?
Aber was sind denn hier die verschiedenen Multiplikationen..

Shipwater aktiv_icon

21:07 Uhr, 20.10.2013

Das verstehst du schon richtig. Die Verknüpfung in $G$ ist eben die Verknüpfung in $G$ und die Verknüpfung in $A u t (G)$ ist natürlich $\circ$ also die Verkettung von Funktionen. Zu zeigen ist also die Gleichheit von $C (g_{1} g_{2})$ und $C (g_{1}) \circ C (g_{2})$ für alle $g_{1}, g_{2} \in G$ .

Sabine2 aktiv_icon

22:12 Uhr, 20.10.2013

Alles klar, das war mein Problem ;-)
Also seien $g_{1}, g_{2} \in G$ . Es ist dann mit $a \in G$
$C (g_{1} g_{2}) = C_{g_{1} g_{2}} (a) = (g_{1} g_{2}) a {(g_{1} g_{2})}^{- 1}$
$C (g_{1}) \circ C (g_{2}) = (C_{g_{1}} \circ C_{g_{2}}) (a) = C_{g_{1}} (C_{g_{2}} (a)) = C_{g_{1}} (g_{2} a g_{2}^{- 1}) = g_{1} (g_{2} a g_{2}^{- 1}) g_{1}^{- 1} = (g_{1} g_{2}) a (g_{1}^{- 1} g_{2}^{- 1})$

Alles was ich jetzt noch brauche, ist ein Beweis für $g_{1}^{- 1} g_{2}^{- 1} = {(g_{1} g_{2})}^{- 1}$ .

Muss man das $(a)$ eigentlich aufschreiben, oder kann man auch $z . B$ . $C (g_{1} g_{2}) = C_{g_{1} g_{2}}$ schreiben?

Shipwater aktiv_icon

22:18 Uhr, 20.10.2013

Du hast dich bei $C (g_{1}) \circ C (g_{2})$ am Ende vertan, da sollte $g_{1} g_{2} a g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}$ stehen. Also bleibt letztendlich ${(g_{1} g_{2})}^{- 1} = g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}$ zu zeigen. Das ist nicht schwer, denn du musst ja nur zeigen, dass $h := g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}$ die Inverseneigenschaft von $g_{1} g_{2}$ erfüllt, also dass $h g_{1} g_{2} = g_{1} g_{2} h = e_{G}$

Sabine2 aktiv_icon

22:29 Uhr, 20.10.2013

Ja klar, da hab ich mich vertippt.
Also $h := g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}$ . Und es muss $h (g_{1} g_{2}) = e_{G}$ gezeigt werden.
$(g_{1} g_{2}) h = e_{G}$ muss doch eigentlich nicht gezeigt werden, da es ja nicht in den Gruppenaxiomen ja nur die eine Gleichung formuliert wird. Und man kann zeigen, dass wenn $b a = e (b$ ist das Inverse zu $a)$ auch $a b = e$ gilt.

$(g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}) (g_{1} g_{2}) = g_{2}^{- 1} (g_{1}^{- 1} g_{1}) g_{2} = g_{2}^{- 1} \cdot e_{G} \cdot g_{2} = g_{2}^{- 1} \cdot g_{2} = e_{G}$

Damit ist dann die Abbildung ein Homomorphismus, oder? Muss man noch zeigen, dass $(A u t (G), \circ)$ eine Gruppe ist?

Und das $(a)$ kann man nun weglassen, oder nicht?

Shipwater aktiv_icon

11:19 Uhr, 21.10.2013

Das hängt natürlich davon ab, wie die Gruppenaxiome genau definiert worden sind. Wenn ihr die formal schwächeren Gruppenaxiome habt, dann reicht es tatsächlich $h (g_{1} g_{2}) = e_{G}$ zu zeigen. Und du hast Recht, man kann ziemlich schnell nachweisen, dass das linksinverse Element auch rechtsinvers ist. Also alles richtig was du dir in dieser Hinsicht gedacht hast.
Dass $(A u t (G), \circ)$ eine Gruppe ist solltet ihr euch in der Vorlesung überlegt haben. Aber das ist ja sowieso schnell überlegt. Was meinst du denn mit $(a)$ weglassen?

Sabine2 aktiv_icon

17:50 Uhr, 21.10.2013

Guck mal bitte in meinen Betrag von gestern, $22 : 12$ . Da habe ich immer ein $(a)$ mitgeschrieben. Die Frage ist, ob man das weglassen kann.

Wir haben $(A u t (G), \circ)$ als Beispiel einer Gruppe angeführt, es aber nicht bewiesen.
Muss es denn gezeigt werden?

Und muss sonst noch etwas gezeigt werden?

Beweis, dass $A u t (G)$ eine Gruppe ist:
$i)$ Assoziativität: Der Verkettung von Abbildungen ist assoziativ.
ii) neutrales Element: $i d_{G} : G \to G, g \mapsto g,$ denn für $f \in A u t (G)$ ist $i d_{G} \circ f = f$ .
inverses Elemet: Zu $f \in A u t (G)$ ist die Umkehrabbildung $f^{- 1} \in A u t_{G},$ denn $f^{- 1} \circ f = i d_{G}$ .
Die Umkehrabbildung existiert, weil die Elemente in $A u t (G)$ bijektiv sind.

Muss gezeigt werde, dass $i d_{G}$ und $f^{- 1} \in A u t (G)$ liegen?

Shipwater aktiv_icon

18:14 Uhr, 21.10.2013

Wenn es um den Funktionsterm geht, sollte das $(a)$ mitgeschrieben werden. Aber wenn du über die Funktion selbst redest (zum Beispiel "f ist stetig") dann lässt man das weg.
Nein es muss dann nicht gezeigt werden, aber kann ja nicht schaden.
Das läuft im Prinzip darauf hinaus zu zeigen, dass für $f \in A u t (G)$ auch $f^{- 1} \in A u t (G)$ und dass für $f_{1}, f_{2} \in A u t (G)$ auch $f_{1} \circ f_{2} \in A u t (G)$ . Die restlichen Sachen sind schnell überlegt wie zum Beispiel die Assoziativität oder dass $i d_{G} \in A u t (G)$ . In eurem Skript sollte aber bewiesen worden sein, dass die Verkettung zweier Homomorphismen wieder einen Homomorphismus ergibt und dass die Umkehrfunktion eines Homomorphismuses wieder ein Homomorphismus ist.

Sabine2 aktiv_icon

18:21 Uhr, 21.10.2013

Gut, also schreibe ich es mit ;-)

Nein, wir haben bisher nichts dergleichen gezeigt.

Shipwater aktiv_icon

18:28 Uhr, 21.10.2013

Du kannst ja mal versuchen es dir selbst zu überlegen. Wenn $f_{1} : G \to G$ und $f_{2} : G \to G$ zwei Automorphismen sind dann ist klarerweise auch $f_{1} \circ f_{2}$ eine Funktion $G \to G$ . Nun versuche nachzuweisen, dass $f_{1} \circ f_{2}$ dann auch die Homomorphismuseigenschaft erfüllt. Benutzen musst du dafür selbstredend, dass $f_{1}$ und $f_{2}$ die Homomorphismuseigenschaft erfüllen.

Sabine2 aktiv_icon

18:36 Uhr, 21.10.2013

Sei $g_{1}, g_{2} \in G$ .
$(f_{1} \circ f_{2}) (g_{1} \cdot g_{2}) = f_{1} (f_{2} (g_{1} \cdot g_{2})) = f_{1} (f_{2} (g_{1}) \cdot f_{2} (g_{2})) = f_{1} (f_{2} (g_{1}) \cdot f_{1} (f_{2} (g_{2})) = (f_{1} \circ f_{2}) (g_{1}) \cdot (f_{1} \circ f_{2}) (g_{2})$ .
$f_{1} \circ f_{2} : G \to G$ ist also ein Homomorphismus. Aber ist es auch ein Automorphismus? Ist er also bijektiv?

Shipwater aktiv_icon

18:42 Uhr, 21.10.2013

Das hast du richtig gemacht. Und ja die Bijektivität muss man sich auch noch überlegen. Ihr habt doch schon bewiesen, dass die Verkettung bijektiver Funktionen wieder bijektiv ist, oder?

Sabine2 aktiv_icon

18:52 Uhr, 21.10.2013

Ne, leider nicht...

Shipwater aktiv_icon

19:19 Uhr, 21.10.2013

Und was genau macht ihr in der Vorlesung?^^ Dann darfst du das auch beweisen, wenn du dazu Lust hast...

Sabine2 aktiv_icon

19:29 Uhr, 21.10.2013

Das Frage ich mich auch grade... War grad erst die dritte Vorlesung, aber thematisch würde das jetzt ja nicht mehr passen.

Wieso muss man für die Aufgabe nicht zeigen, dass $A u g (G)$ eine Gruppe ist?

Shipwater aktiv_icon

19:32 Uhr, 21.10.2013

Es steht doch in eurem Skript, dass es eine Gruppe ist. Das ist in der Aufgabe vorausgesetzt.

Sabine2 aktiv_icon

19:44 Uhr, 21.10.2013

Mit Skript meinst du die Aufgabenstellung oder das Beispiel, was wir angeführt hatten, aber nicht bewiesen haben?

Shipwater aktiv_icon

19:49 Uhr, 21.10.2013

Letzteres.

Sabine2 aktiv_icon

19:50 Uhr, 21.10.2013

Aber es ist doch unbewiesen...

Shipwater aktiv_icon

20:07 Uhr, 21.10.2013

Jetzt wird es anstrengend. Es ist doch offensichtlich, dass der Sinn der Aufgabe nicht darin besteht den Nachweis zu erbringen, dass $(A u t (G), \circ)$ eine Gruppe ist, sondern zu zeigen, dass die angegebene Abbildung einen Homomorphismus definiert. Die Aufgabe macht ja auch nur Sinn, da $(A u t (G), \circ)$ eine Gruppe ist. Generell darfst du alles benutzen was im Skript steht, ob die Aussage bewiesen wurde oder nicht ist dabei egal. Das Skript ist deine heilige Schrift.

Sabine2 aktiv_icon

20:25 Uhr, 21.10.2013

Entschuldige, ich wollte dich nicht nerven. Danke für deine Hilfe ;-)

Shipwater aktiv_icon

20:33 Uhr, 21.10.2013

Gerade im Mathestudium ist es schon richtig, alles genau zu hinterfragen ;-)

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