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Homomorphismus und Kommutativität

Universität / Fachhochschule

Tags: Gruppe, Homomorphismus, Kommutativität

 
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anonymous

anonymous

18:06 Uhr, 11.11.2012

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Guten Abend miteinander.

Ich hätte gern eine Beweisargumentation überprüft:
Sei X eine Gruppe und f:X→X, x↦x2.

Behauptung:
f ist genau dann ein Homomorphismus ist, wenn X eine kommutative Gruppe ist.

Beweis: (indirekt)
Die Verknüpfung erfolgt offensichtlich über die Mutliplikation.
Somit ist f ein Homomorphismus, wenn für alle x1,x2∈X gilt:
f(x1*x2)=f(x1)*f(x2), das heißt (x1*x2)2=(x1)2*(x2)2
Wäre X nun keine kommutative Gruppe, so wäre x1*x2≠x2*x1,
folglich würde gelten: (f(x1*x2)=f(x1)*f(x2))≠(f(x2*x1)=f(x2)*f(x1)),
woraus folgt: ((x1*x2)2=(x1)2*(x2)2)≠((x2*x1)2=(x2)2*(x1)2),
was für den Fall x1=x2 bedeute: (x1*x1)2≠(x1*x1)2
Dies ist offensichtlich widersprüchlich, so dass die Behauptung gilt.
q.e.d.


Ist das soweit in Ordnung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Sina86

Sina86

10:58 Uhr, 12.11.2012

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Hallo,

auch hier lohnt es sich, mit Quantoren zu arbeiten:

Sei X eine Gruppe. Dann gilt
X kommutativ ⇔∀x,y∈X:xy=yx

Nun verneint man dies mit den Negationsregeln:
X nicht kommutativ ⇔∃x,y∈X:xy≠yx

Aus dem All-Quantor wird also ein Existenz-Quantor. Ist eine Gruppe nicht kommutativ, bedeutet dies also nicht, dass für alle x,y die Gleichung xy=yx nicht erfüllt ist. Es gibt durchaus Elemente, für die xy=yx gilt. Und mit Sicherheit gilt xy=yx, wenn y=x ist. So kannst du also nicht argumentieren.

Viele Grüße
Sina
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michaL

michaL aktiv_icon

12:26 Uhr, 12.11.2012

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Hallo,

ich würde sagen, dass diese Aussage leicht direkt bewiesen werden kann.
Die Grundlage hast du ja auch schon geschrieben, indem du die Homomorphismuseigenschaft f(x,y)=f(x)f(y) verwendest.

Schreibe diese Gleichung noch mal auf. Aus dieser Gleichung erhältst du einfach xy=yx!
Bedenke: In einer Gruppe (egal ob kommutativ oder nicht) gibt es Inverse!

Mfg Michael
anonymous

anonymous

22:36 Uhr, 12.11.2012

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Ich hoffe die letzte Stunde mit deinem Hinweis und meinen Aufzeichnungen war nicht umsonst:

Aus der Homomorphismuseigenschaft ergibt sich an obrigem Beispiel erst einmal:
(x*y)2=x2*y2
Jetzt betrachte ich die rechte Seite und ihre Inverse:
(y-2*x-2)*(x2*y2)=y-2*((x-2*x2)*y2)=y-2*(e*y2)=y-2*y2=e
Daraus folgt, dass x2*y2=y2*x2, was der Kommutativtät entspricht, so dass f ein Homomorphismus ist.
anonymous

anonymous

16:26 Uhr, 14.11.2012

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Also ich habe das ganze nochmal überarbeitet und möchte jetzt folgende Lösung anbieten:

Behauptung: f ist Homomorphismus ⇔ G ist kommutativ

"⇒": f ist Homomorphismus => G ist kommutativ
Sei f ein Homomorphismus, das heißt es gilt ∀x,y∈G:f(x*y)=f(x)*f(y),
so ist zu zeigen, dass für ∀x,y∈G gilt: x*y=y*x
x*x*y*y=(x*x)*(y*y)=f(x)*f(y)=f(x*y)=(x*y)*(x*y)=x*y*x*y
Kürzt man nun auf beiden Seiten von x*x*y*y=x*y*x*y jeweils ein x und ein y weg, so ergibt sich der Term x*y=y*x, was zu zeigen war.

"⇐": f ist Homomorphismus <= G ist kommutativ
Vorausgesetzt sei, dass G eine kommutative Gruppe ist, was bedeutet, dass ∀x,y∈G gilt: x*y=y*x
f(x*y)=(x*y)*(x*y)=x*y*x*y=x*x*y*y=f(x)*f(y)
Aus f(x*y)=f(x)*f(y) folgt, dass f ein Homomorphismus ist.

Anmerkung: Analog gilt dies auch für die Verknüpfung mit "+".
q.e.d


Ist das soweit vollständig und auch richtig?
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