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Homotopie, Funktion finden
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie
 
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Ich soll zeigen, dass und Homotopie äquivalent sind. D.h. ich brauche zuerst mal stetige Funktionen von der einen Menge in die andere. Kann mir dabei vielleicht jemand helfen? Für eine Funktion von B nach A. sollte man sicherlich mal alle Punkte die auf dem Intervall [-2,2] auf der y-Achse in den Ursprung abbilden, aber wie sieht es sonst aus? Wenn ich ja nur mal die rechte Hälfte, also den 1. und 4. Quadraten betrachte und diese Teilmenge auf versuche abzubilden, funktioniert es ja nicht mit der Abbildung , oder? Dann werden ja nicht alle Punkte effektiv angenommen?! Vielen Dank schon im Voraus für eure Hilfe und eure Tipps! :-) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Moin, was bedeutet denn die Schreibweise ? Ein Kreis mit Radius um den Punkt ? |
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Ja, genau! |
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Hmm, müsste man nicht die Punktmengen erst als Kurven auffassen und irgendwie parametrisieren? Könnte man vielleicht einen der beiden Kreise auf den großen Kreis aufblähen und den anderen auf die Trennstrecke zusammenstauchen? Ist nur die Frage, ob man das irgendwie stetig hinkriegen kann... |
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Hmm...man könnte den einen Kreis ja eine Art stereographisch auf das Intervall [-2,2] projezieren, wobei dann bleiben ja Punkte nahe beim Nord- bzw. Südpol übrig und werden nicht abgebildet, nicht? Ach, ist das kompliziert... |
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Ich meinte eigentlich eher einen Weg über immer engere Ellipsen, die im Grenzfall zu einer Strecke werden. Aber weiß nicht, ob das im Grenzfall noch stetig bleibt. Umkehrbar sicher nicht, aber das muss ja auch nicht sein. |
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Mir fällt da was ein. Könnte man die beiden kleinen Kreise nicht auf einander drücken, s.d. das gleiche Bild entstehen würde wie der grosse Kreis mit Mittellinie einfach nicht mit Radius 2 sondern Radius 1 und dann einfach aufblähen. Also konkret: Zuerst basteln wir eine Hilfsfunktion die folgendermassen definiert ist: , falls , falls und falls und Jetzt müssen wir alles noch strecken, d.h. . Ist das stetig? Und würde das wohl so gehen? |
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Hmm, ich kenne das mit den Homotopien etwas anders, aber vielleicht gibt es ja unterschiedliche Definitionen? In der Version, die ich kenne, betrachtet man eine Kurve (oder eben und möchte sie durch stetige Deformation auf eine andere Kurve abbilden. Dafür betrachtet man eine Homotopie also eine Funktion zweier Parameter: Des "Parametrisierungsparameters" der Kurven und eines "Deformationsparameters" . Dabei soll gelten und . Für den Anfangswert von soll also wie die Ausgangskurve aussehen und für den Endwert wie die Zielkurve. soll dabei sowohl in als auch in stetig sein, dadurch ist jede "Zwischenkurve" stetig und der "Deformationsvorgang" ist auch stetig. Ich weiß leider nicht, wie man das mit dem, was du versuchst, zusammenbringt... |
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