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Horizontale Addition von Funktionen: rechnerisch!

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, horizontale Addition

Erpelmama aktiv_icon

12:33 Uhr, 17.07.2015

Hallo zusammen!

Ich habe zwei Funktionen vorliegen:

f (x) = 3 x + 100

und

g (x) = 2 x + 160

Wenn ich diese Funktionen horizontal addiere, dann weiß ich, wie das graphisch aussieht. Indem ich

f (x)

gleich

160

setze, kann ich den Punkt ermitteln, indem die neue Funktion einen Knick macht.

Bisher mussten wir so etwas nur zeichnen, ich habe jedoch Angst, dass in der Klausur evtl. der rechnerische Weg abgefragt wird. Daher meine Frage an euch:

Wie lautet die neue Funktion und wie ermittle ich die?

Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße
Anja

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

funke_61 aktiv_icon

12:43 Uhr, 17.07.2015

Leider kann ich Deine Zeichnung nicht betrachten . . .
Meinst Du

f (x) + g (x) = 3 x + 100 + 2 x + 160

f (x) + g (x) = 5 x + 260

Diese Summe beider Funktionen ist wieder eine "Gerade" denn sie hat die Grundform

f (x) = m x + t

!

"Indem ich

f (x)

gleich

160

setze, kann ich den Punkt ermitteln, indem die neue Funktion einen Knick macht."

f (x)

und

g (x)

sind verscgiedene Geraden - sie haben keinen Knick!
Aber sie haben einen Schittpunkt, der sich durch "Gleichsetzen" ermitteln lässt:

3 x + 100 = 2 x + 160

3 x - 2 x = 160 - 100

\to x = 60

x = 60

nun zB. in

f (x)

eingesetzt ergibt:

f (60) = 3 \cdot 60 + 100 = 280

Also ist der Schnittpunkt

S

der Geraden

f (x)

und

g (x)

bei

S (60 | 280)

Wenn Du hingegegen

f (x) = 160

setzt, dann erhältst Du "nur" den Schnittpunkt von

f (x)

mit der wagrechten Geraden

y = 160

;-)

Matheboss aktiv_icon

13:47 Uhr, 17.07.2015

Jetzt kann ich Deine Zeichnung sehen. Auch sie ist nicht korrekt.

Den Schnittpunkt hat Dir Funke ja vorgerechnet.

Du hast jetzt eine abschnittsweise definierte Funktion

h (x),

für die gilt

... ...

. ..

. .

f (x)

für

x \leq 60

h (x) =

... ...

. ..

. .

g (x)

für

x > 60

Roman-22

14:29 Uhr, 17.07.2015

Leider erscheinen diese eingefügten Geogebra-Blätter bei mir nur als leere Zeichnung. Das liegt nicht an dir, sondern an dem System hier und manche haben mehr Glück und können deine Datei betrachten. Bedauerlicherweise gibt es hier keine Möglichkeit, Dateien mit zu schicken. Das ist zwar eine Schande für ein Forum wie dieses, aber es ist leider eine Tatsache. Das einzige, das hier einigermaßen funktioniert sind Bildchen - zwar auch ohne die Möglichkeit der Drehung oder Sklaierung und auch animierte GIFs werden nicht angezeigt, aber immerhin.
Also mach bitte einen Screenshot und häng diesen an deine Antwort.

Was du mit "horizontal" addieren meinst, ist nicht ganz klar. Ebensowenig deine Ausführung "Indem ich

f (x)

gleich

160

setze, kann ich den Punkt ermitteln, indem die neue Funktion einen Knick macht."

Möchtest du die Abszissenwerte (x-Werte) addieren. Also quasi die Summe der Umkehrfunktionen bilden?
Wäre

y = \frac{6}{5} \cdot x + 136

(für

x \geq 20)

vielleicht die Funktion, die du suchst ?

Gruß

R

Matheboss aktiv_icon

14:32 Uhr, 17.07.2015

@Hallo Roman,

seit ich das Java-Update (heute neu) installiert habe, lässt Firefox die Grafk zu.
Vorher wurde sie blockiert!

Roman-22

15:50 Uhr, 17.07.2015

Ich arbeite auch mit FF aber das Problem ist nicht, dass Java blockiert wird. Das Geogebra Applet wird gestartet und ich könnte darin auch arbeiten, bloß die Zeichnung des Posters wird nicht angezeigt - ich bekomme nur ein leeres GG-Arbeitsblatt.
Gleicher Effekt auch in Chrome, wo man in der aktuellen Version

43

noch (bis zum Erscheinen der 45er Version) diese veralteten NAPI-Plug-Ins erlauben kann. GG startet, aber auch nur ein leeres Arbeitsblatt.
Ich will auch nicht lang darüber nachgrübeln, woran es liegen könnte (denn andere sehen die Datei ja doch), denn das lohnt nicht.
Die Einbindung eines mittlerweile veralteten Applets als einzige Möglichkeit anzubieten, anderes als Bildchen mitzuschicken, ist jedenfalls recht dürftig für ein Forum wie dieses. Aber wie hier ja schon an anderer Stelle festgestellt wurde haben die Betreiber offensichtlich ja schon seit Jahren kein Interesse mehr an einer Weiterentwicklung - das muss man respektieren. Einem geschenkten Gaul

...

R

Atlantik aktiv_icon

18:16 Uhr, 17.07.2015

Ich habe mal eine zeichnerische horizontale Addition durchgeführt.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

Roman-22

22:59 Uhr, 17.07.2015

Ja, Atlantik, wie ich schon vorhin geschrieben hatte, könnte ich mir durchaus vorstellen, dass die Fragestellerin so etwas meint.
Aber ohne ihre Zeichnung zu sehen und ohne weiter Infos von ihr ist das nur Kaffeesatzlesen.

Aber es hat den Anschein, als ob die Frage ohnedies kein großes Anliegen von Erpelmama Anja mehr ist.

Mit den von ihr genannten Funktionen würde unser Ansatz so aussehen:
HorAdd

Erpelmama aktiv_icon

10:53 Uhr, 18.07.2015

Vielen Dank für die Antworten! Ich wusste nicht, dass das mit den Zeichnungen hier nicht so gut funktioniert.

Doch, das ist immer noch ein wichtiges Anliegen von mir. Ich hänge jedoch nicht den ganzen Tag im Internet, sondern gehe nur selten online. ;-)

Erst einmal danke an Roman-22 für die Zeichnung. Genau das meinte ich. Ich beziehe mich auf das Prinzip horizontaler Addition aus der VWL. Die Gesamtangebotskurve einer Branche bzw. eines Marktes erhält man, indem man die Angebotskurven der Unternehmen horizontal addiert. Gegeben waren zwei Angebotskurven (siehe oben) und ich soll die Marktangebotskurve ermitteln. Bei der Graphischen Ermittlung geht man so vor, dass man die flachere Kurve

(g (x))

so weit nach rechts verschiebt, bis sein ursprünglicher Schnittpunkt mit der Y-Achse

(160)

auf die steilere Kurve

(f (x))

trifft. Man setzt

f (x)

also gleich

160

und ermittelt so den Schnittpunkt. Bis zu diesem Schnittpunkt haben wir eine Steigung von

3,

danach eine Steigung von 2. Die Marktangebotskurve macht also einen Knick.

Es tut mir leid, dass ich das in meiner ursprünglichen Frage nicht genau erklärt habe. Ich kenne mich nicht allzu viel mit Mathe aus und dachte, in einem Matheforum wäre das Thema bekannt. Aber vielleicht wird es außerhalb der VWL gar nicht wirklich verwandt.

Bisher mussten wir die Marktangebotskurve nur aufzeichnen. Ich würde jedoch nicht ausschließen, dass in der Klausur auch die Funktionsgleichung abgefragt wird. Weiter oben schlägt Matheboss vor, dass man das abschnittweise definiert. Daran habe ich noch gar nicht gedacht. Könnte ich als Funktionsgleichung dann evtl. folgendes nehmen?

h (x) = 3 x + 100

für

x < 160

2 x + 120

für

x > 160

Aber was ist dann mit

x = 160,

wie definiere ich das da? Einfach

h (x) = 20

? Oder kann ich statt

<

oder

>

einfach ≤ oder ≥ nehmen?

Vielen Dank schon mal und tut mir leid, wenn ich nicht sofort alle Antworten lese.

Roman-22

13:54 Uhr, 18.07.2015

>

Erst einmal danke an Roman-22 für die Zeichnung. Genau das meinte ich.
Offenbar nicht, denn du scheibst später

>Bis zu diesem Schnittpunkt haben wir eine Steigung von

3,

danach eine Steigung von 2.
Meine "rote Gerade" hat aber eine Steigung von nur

\frac{5}{6},

weil ich eben die x-Werte addiere (angedeutet an einer Stelle durch die strichlierten Strecken).

Deiner Beschreibung nach wird aber einfach

g (x)

1) y_{0} := g (0) /

ab diesem y-Wert tritt die verschobene Kurve in Aktion

2) f (x) = y_{0}

nach

x

auflösen

\to x_{0} /

ab dieser Stelle gilt die verschobene

g (x)

3) h (x) := g (x - x_{0}) /

Das ist die Gleichung der verschobenen Geraden

Deine Marktangebotskurve ist dann also

m (x) := (\begin{matrix} N a N w e n n x < 0 \\ f (x) w e n n 0 \leq x \leq x_{0} \\ g (x - x_{0}) w e n n x > x_{0} \end{matrix})

Für dein Musterbeispiel:

1) y_{0} = 160

2) 3 x + 100 = 160 \to x_{0} = 20

3) h (x) := g (x - 20) = 2 \cdot (x - 20) + 160

oder

h (x) = 2 x + 120

Erpelmama aktiv_icon

12:43 Uhr, 19.07.2015

"Deiner Beschreibung nach wird aber einfach

g (x)

nach rechts verschoben und das wars dann auch. Mit gutem Willen und bei schlechtem Licht könnte man das ja auch als "horizontale Addition" durchgehen lassen, da einfach ein konstanter Wert zu einer der beiden Funktionen addiert wird."

Also wir haben genau dieses Vorgehen in der Uni als horizontale Addition kennengelernt. Aber danke, ich werde die neue Funktion dann einfach abschnittsweise definieren!

Erpelmama aktiv_icon

12:43 Uhr, 19.07.2015

"Deiner Beschreibung nach wird aber einfach

g (x)

1247004

1246761

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