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Tags: spiegelmatrix

anonymous

20:59 Uhr, 20.01.2022

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei der Multiplikation

Q (v 1) \cdot a 1

(siehe Foto).

1. Steht in der zweiten Zeile nicht statt

v 1 \cdot v 1^{t} \cdot a 1 - v 1^{t} \cdot a 1 v 1

?? Warum darf das einfach so umgeschrieben werden.

Wenn ich die Gleichung auflöse, komme ich nicht zum gleichen Ergebniss… was mache ich falsch??

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

HAL9000

12:30 Uhr, 21.01.2022

Ok, ich nenne mal die hier vorliegende Vektorraumdimension

d

.

Dann sind

a_{1}, v_{1}

hier Spaltenvektoren, die man auch als

d \times 1

-Matrix auffassen kann.

v_{1}^{t}

ist dann ein Zeilenvektor, den man auch als

1 \times d

-Matrix auffassen kann. Und schließlich kann man reelle Zahlen wie

α_{1}

als

1 \times 1

-Matrix auffassen.

Warum diese Vorrede? Nun, damit du wirklich mal begreifst, was diese ganzen Produkte hier eigentlich für Konstrukte sind, da scheint es bei dir das eine oder andere Verständnisproblem zu geben (so zumindest mein Eindruck auch aus anderen Threads von dir): Das hat z.B. zur Konsequenz, dass das

v_{1} v_{1}^{t}

im Zähler des zweiten Terms dieser Householder-Matrix eine

d \times d

-Matrix ist.

Die Rechnung

(v_{1} v_{1}^{t}) \cdot a_{1} = v_{1} \cdot (v_{1}^{t} a_{1})

ist in dem Sinne einfach deshalb gültig, weil das eine Multiplikation dreier Matrizen ist, und diese Matrix-Multiplikation dem Assoziativgesetz unterliegt.

Das erste

\cdot

kennzeichnet die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor, das zweite

\cdot

hingegen die eines Vektors mit einem Skalar (d.h. reelle Zahl). Letzeres Ergebnis darf man dann auch durch Vertauschung schreiben als

(v_{1}^{t} a_{1}) \cdot v_{1}

, weil man das in diesem Sinne dann als Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar auffasst, und da sind beide Schreibweisen gestattet (Skalar vor oder hinter dem Vektor dranmultiplizieren).

Und genau das geschieht hier von der ersten zur zweiten Zeile, d.h., diese Identität

(v_{1} v_{1}^{t}) \cdot a_{1} = (v_{1}^{t} a_{1}) \cdot v_{1}

wird speziell für

v_{1} = a_{1} - α_{1} e_{1}

verwendet.

P.S.: Falsch wäre übrigens ein Weiterrechnen a la

(v_{1}^{t} a_{1}) \cdot v_{1} \overset{? ? ?}{=} v_{1}^{t} \cdot (a_{1} v_{1})

,

denn

a_{1} v_{1}

ist als Matrixprodukt unzulässig: Eine

d \times 1

-Matrix darf im Fall

d \geq 2

nicht mit einer

d \times 1

-Matrix multipliziert werden - Dimensionskonflikt der Operanden!

EDIT: Ein Wort noch zu deinen eigenen Rechnungen. In deiner dritten Zeile steht dort ein Bruch, wo sowohl in Zähler wie Nenner reelle Zahlen sind. Und dann machst du im Übergang zur vierten Zeile was ganz furchtbares:

Statt diesen Bruch einfach zusammenzukürzen (da kommt

\frac{1}{2}

raus), multiplizierst du den Vektor

a_{1} - α_{1} e_{1}

da in den Zähler "hinein" und machst den ganzen Zähler zu einem grottig unübersichtlichen Vektor.

anonymous

14:44 Uhr, 21.01.2022

Hallo HAL9000,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. In der Tat war mir der erste Teil, den du beschrieben hast, wohl bewusst. Allerdings habe ich nicht daran gedacht, dass

v 1^{t} \cdot a 1

natürlich ein Skalar ist.

Somit kann ich die gesamte Rechnung nun nachvollziehen.

Liebe Grüße und ein schönes Wochenende!

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