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Hüpfball

Schüler

Tags: Analytische Geometrie

Sabine2 aktiv_icon

12:23 Uhr, 01.12.2012

Guten Nachmittag liebes Forum!
Ich bereite mich grade auf mein Vorabitur vor, das in gut einer Woche ansteht und bitte euch einmal, meine Lösungen zu kontrollieren:

Vorweg: Es geht um einen Hüpfball, von dem auch ein Bild in der Aufgabe vorkomme. Der Hüpfball sieht quasi genau so aus, wie der im Anhang und er liegt exakt so wie dieser.

Ein Hüpfball (siehe Bild) besteht -vereinfacht- aus zwei Bällen und einem kreisförmigen Hüpfbrett, in das die Bälle eingelassen sind. Das mathematishe Modell besteht idealisiert aus einer oberen Kugel

K,

einer Ebene

E,

in der das Hüpfbrett liegt, und einer unteren Kugel

K'

. Zunächst wird vereinfachend angenommen, dass

K'

durch spiegelung der Kugel an der Ebene

E

entsteht.
In einem kartesischen Koordinatensystem hat die obere Kugel

K

die Gleichung:

K : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 20 x_{1} - 20 x_{2} - 48 x_{3} + 632 = 0

und die Hüpfbretteben

E

die Gleichung

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 20 \end{matrix}) + a \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix}); a, b \in ℝ

.
Wie in der Zeichnung dargestellt liegt der Hüpfball schräg auf dem Fußboden

(x_{1} x_{2}

-Ebene).

Das Ventil, über das der obere Ball des Hüpfballs aufgepumpt werden kann, liegt im oberen Schnittpunkt der Achse durch die Ballmittelpunkte (Symmetrieachse) mit der Kugel K.

(a)

Bestimmen Sie den Mittelpunkt

M

und den Radius

R

der Kugel

K,

die Koordinaten des Ventilpunktes

V

sowie den Winkel

φ,

den die oben genannte Symmetrieachse des Hüpfballs mit der

x_{1} x_{2}

-Ebene einschließt.

(b)

Zeigen Sie, dass die Ebene

E

die Kugel

K

schneidet, und bestimmen Sie den Mittelpunkt

M_{k r}

und den Flächeninhalt des Schnittkreises

k r

(Aussparung im Hüpfbrett) sowie die Koordinaten des Mittelpunktes

M'

der Kugel

K'

(c)

Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Punkte, in denen der Hüpfball den Boden berührt.

(d)

Die Hülle der beiden Bälle ist sehr elastisch. Der obere Ball wird weiter aufgepumpt. Die Aussparung im Hüpfbrett ändert sich dadurch nicht. Der untere Ball behält seine Größe.
Bestimmen Sie die GLeuchungen der Schar

K_{λ}

aller Kugeln, die

E

im Schnittkreis

k r

schneiden.

Meine Lösungen poste ich gleich in einem neuen Beitrag hier im Thread. Bis gleich! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sabine2 aktiv_icon

12:51 Uhr, 01.12.2012

Und hier meine Lösungen, die bitte auf Richtigkeit geprüft werden sollen.

(a)

Die Kugelgleichung forme ich durch Rückwärtsrechnen (Bino erstellen etc.) so um, dass ich Mittelpunkt und Radius ablesen kann. Es ergibt sich

M (10 | 10 | 24)

und

R = 12

.
Schneide ich die Kugel

K

mit der Symmetrieachse, erhalte ich zwei mögliche Ventilpunkte. Der gekürzte Richtungsvektor der Symmetrieachse ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Spannvektoren von E.

g_{S y m} : \vec{x} = (\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 24 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

(Symmetrieachse)
Schneide ich diese mit

K : {[\vec{x} - (\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ 24 \end{matrix})]}^{2} = 144,

so erhalte ich

λ = \pm 4 \cdot \sqrt{3}

. Eingesetzt in

g_{S y m}

erhalte ich

S_{1} (10 + 4 \sqrt{3} | 10 + 4 \sqrt{3} | 24 + 4 \sqrt{3})

und

S_{2} (10 - 4 \sqrt{3} | 10 - 4 \sqrt{3} | 24 - 4 \sqrt{3})

Nun ist

V

aber der Punkt, der höher liegt, wo

x_{3}

also größer ist.

V = S_{1}

ergibt sich somit.

φ =

arccos

(\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx

54,74° (Winkel zwischen Richtungsvektor der Symmetrieachse un Normalenvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene.)

(b)

Abstand Mittelpunkt

M

zur Ebene

E

ergibt

d = \frac{18}{\sqrt{3}}

. Da dies kleiner als

R

ist, gibt es einen Schnittkreis.
Schnitt von

g_{S y m}

mit

E

liefert

M_{k r}

λ = - 6,

deswegen

M_{k r} (4 | 4 | 18)

r_{k r} = \sqrt{144 - \frac{18^{2}}{3}} = 6

A_{k r} = 36 \cdot π \approx 113,1

FE.

\vec{m'} = \vec{m_{k r}} + \vec{M M_{k r}} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 12 \end{matrix}),

also

M' (- 2 | - 2 | 12)

Das Ergebnis macht auch Sinn, da die Kugel

K'

den Boden berührt, hat sie einen Radius von

12,

also den selben wie K.

(c)

Die Projektion von

M'

auf ie

x_{1} x_{2}

Ebene liefert den ersten berührtpunkt

P_{1}

P_{1} (- 2 | - 2 | 0)

.
Jetzt projiziere ich die Symmetrieachse auf die Bodenebene und erhalte eine Gerade

p : \vec{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}),

diese schneide ich mit

E

und erhalte

μ = 15

und somit den zweiten Berührpunkt

P_{2} (13 | 13 | 0)

(d)

Alle Mittelpunkte müssen auf der Symmetrieachse liegen, haben also den Ortsvektor

(\begin{matrix} 10 + λ \\ 10 + λ \\ 24 + λ \end{matrix})

.
Abstand Mittelpunkt zur Ebene:

d = | \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 + λ - 2 \\ 10 + λ - 4 \\ 24 + λ - 20 \end{matrix}) | = | \frac{18 + 3 λ}{\sqrt{3}} |

r^{2} = d^{2} + 36 = 3 λ^{2} + 36 λ + 144

Also

K_{λ} : {[\vec{x} - (\begin{matrix} 10 + λ \\ 10 + λ \\ 24 + λ \end{matrix})]}^{2} = 3 λ^{2} + 36 λ + 144

Muss ich noch irgendwie einen Wertebereich für

λ

angeben, bei dem

K

die Ebene

E

überhaupt schneidet? Aber das ist so einfach doch garnicht möglich, oder?
Und wenn es bei einigen Wegen einfechere und schnellere Wege gibt, so sagt mir das bitte ;-)

Danke für eure Hilfe!

prodomo aktiv_icon

13:21 Uhr, 01.12.2012

habe gerade die Musterlösung vor mit (SH

2010

LK Analytische Geometrie Nr.

4)

und kämpfe mich durch die umständliche Formulierung. Bei

a)

hast du den falschen Winkel richtig berechnet (Text genau lesen), sonst alles ok. Das wären

29

von

30

möglichen Punkten.

Sabine2 aktiv_icon

13:40 Uhr, 01.12.2012

Oh, da hatte ich schon Aufgaben, die deutlich verwirrender waren. Ich erinner mich da an eine Stochastikaufgabe "Radrennen Rund um den Flintstone" oder so ähnlich.

Also

29

von

30

Punkten lässt doch hoffen :-D) Ich bin so nervös wegen dem Probeabi...

In der Aufgabe wollen sie doch den Winkel zwischen

g_{S y m}

und

x_{1} x_{2}

-Ebene.
Also den Winkel zwischen

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}),

oder nicht? Da komme ich auf 54,74°.
Ach mist, beim Schreiben habe ich es gemerkt... Ich habe ja den Normalenvektor genommen, also entweder ich rechne 90°-diesen Winkel und komme auf 35,26° oder ich bemühe wegen cos(90°-phi) den sinus. arcsin(1/sqrt(3))=35,26°

Also aufschreiben würde ich es so:

α

sei der Winkel zwischen dem Normalenvektor der

x_{1} x_{2}

Ebene und dem Richtungsvektor der Achse und

φ

der gesuchte.
Es gilt:

cos (α) = cos (90 - φ) = sin (φ) = \frac{| (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow φ =

arcsin

(\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 35,26

Hätte ich auch den WInkel zwischen

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}),

also der Projektion der Geraden auf die

x 1 x 2

Ebene berechnen können? Ja oder?

Ich merke jetzt erst, dass die Aufgabe aus einem Leistungskurs kommt. Das macht mich ja schon ein wenig stolz :-D)

prodomo aktiv_icon

15:52 Uhr, 01.12.2012

Jetzt ist der Winkel richtig. Die umständlichen Formulierungen beziehen sich auf den Text des Erwartungshorizontes.
Nochmal deutlich: Angst brauchst du keine zu haben, Respekt schon. Wie eine alte Freundin schon beim Sport am Start sagte."Ein gutes Rennpferd muss nervös ein.."Aber nicht verkrampfen !

Sabine2 aktiv_icon

16:08 Uhr, 01.12.2012

Ja gut :-)
Dann vielen Dank! :-) Dann widme ich mich jetzt der Stochastik, das ist mein größtes Problem. Analysis geht recht gut, gefolgt von der analytischen Geometrie.

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