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Hyperbel

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Hyperbelabschnitt

klaneeli aktiv_icon

19:57 Uhr, 01.06.2010

Bitte bitte bitte um hilfe

!!

Die Gerade

5 x - 3 y = 16

ist die Tangente einer Hyperbel mit den Asymptoten y=±x
Bestimmte die Hyperbelgleichung und den Berührpunkt der Tangente(Berührbedingung)

bitte um lösungsweg

: (

ich habs

3 x

gerechnet und es kommt immer was komplett falsches raus

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Sams83 aktiv_icon

22:49 Uhr, 01.06.2010

Hallo,

ich komme auf x²/16 - y²/16

= 1

Ausgehend von der Hyperbelgleichung: x²/a² - y²/b²

= 1

kann man aus den Asymptoten schließen, dass

a = b

sein muss.

Also x²/a² - y²/a²

= 1

x² - y² = a²

y=wurzel(x²-a²)

Die Tangentengleichung sieht so aus:

5 x - 3 y = 16

y = \frac{5}{3} \cdot x - \frac{16}{3}

Dann die Hyperbel ableiten und mit der Steigung der Tangente gleichsetzen, da ja Tangente und Hyperbel in einem Punkt dieselbe Steigung haben.

Es ergibt sich:
x² = 25/16a²

Einsetzen und

y

ausrechnen:
y² = 9/16a²

Das dann in die Tangentengleichung einsetzen, da ja an dieser Stelle sowohl Hyperbel als auch Tangente denselben Punkt haben.

Damit ergibt sich:

a = 4

Also:
x²/16 - y²/16

= 1

Bist du einverstanden?

klaneeli aktiv_icon

23:27 Uhr, 01.06.2010

super danke ja das ergebnis stimmt..
nur den schritt wie du auf

y = \frac{5}{3} x

und so kommst versteh ich nicht..

und den berührpunkt der Tangente rechne ich mir durch schneiden aus ??

klaneeli aktiv_icon

23:30 Uhr, 01.06.2010

ups hab mich verlesen..hat sich erledigt :-D) also de frage mit den

\frac{5}{3}

:-D)

Sams83 aktiv_icon

23:31 Uhr, 01.06.2010

5 x - 3 y = 16

5 x - 16 = 3 y

Also:y=(5x-16)/3
bzw.:y=5/3*x-16/3

Ist doch genau Dein

x,

dass Du bestimmst bei gleichsetzen der Steigung, also

x = \frac{5}{4} \cdot a = 5

klaneeli aktiv_icon

23:34 Uhr, 01.06.2010

Dann die Hyperbel ableiten und mit der Steigung der Tangente gleichsetzen, da ja Tangente und Hyperbel in einem Punkt dieselbe Steigung haben.

x²-y²=a²
oder was meinst du ?

aber danke :-) echt sehr nett !

Sams83 aktiv_icon

23:38 Uhr, 01.06.2010

Das machst Du doch automatisch, wenn Du meiner Berechnung folgst...

Also da habe ich ja zuerst die Steigungen gleichgesetzt und damit den x-Wert ausgerechnet. Das ist genau der x-Wert des Berührpunkts.

klaneeli aktiv_icon

23:39 Uhr, 01.06.2010

ja aber die hyp ableiten ??

Sams83 aktiv_icon

23:41 Uhr, 01.06.2010

genau,

y=wurzel(x²-a²)

y'=1/(2(wurzel(x²-a²))*2x = x/wurzel(x²-a²)

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23:44 Uhr, 01.06.2010

okay

. .

1/sqrtx²-a²

= \frac{5}{3} x - \frac{16}{3} . .

Sams83 aktiv_icon

23:47 Uhr, 01.06.2010

Achtung: Nur mit der Steigung der Tangente gleichsetzen!

Also:

x/wurzel(x²-a²)=5/3

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23:52 Uhr, 01.06.2010

wenn ich

x

/sqrt(x²-a²)..wie bekomm ich die wurzel weg ?
da muss ich doch dann alles quadrieren oder??

Sams83 aktiv_icon

23:55 Uhr, 01.06.2010

Ja, genau, denk dran auf beiden Seiten zu quadrieren, dann mit dem Nenner multiplizieren und zusammenfassen (x² auf eine Seite bringen), usw.

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23:56 Uhr, 01.06.2010

bei mir steht dann x² / x²-a²

= \frac{25}{9}

stimmt das ?!

Sams83 aktiv_icon

00:00 Uhr, 02.06.2010

Ja, korrekt, nun mit dem Nenner multiplizieren und zusammenfassen

klaneeli aktiv_icon

00:02 Uhr, 02.06.2010

aaach ich steh auf der Leitung

. .

bei mir kommt dann 9x² = 25x²-a²

ach ..

Sams83 aktiv_icon

00:05 Uhr, 02.06.2010

dann schubs ich dich mal runter von der Leitung :-)...

Achtung, die

25

gilt auch für a²:
9x² = 25(x²-a²)
9x² = 25x² - 25a² |-25x²
-16x² = -25a²
x² = 25/16*a²

ok?

klaneeli aktiv_icon

00:06 Uhr, 02.06.2010

du bistn schatz ! danke :-)

klaneeli aktiv_icon

00:13 Uhr, 02.06.2010

und du setzt dann x² in

x²-y² = a²
ein oder wie ??

Sams83 aktiv_icon

00:14 Uhr, 02.06.2010

Ja genau

klaneeli aktiv_icon

00:17 Uhr, 02.06.2010

: (

bei mir kommt da 41a² = 16y² raus ..ach ..

Sams83 aktiv_icon

00:19 Uhr, 02.06.2010

Ach ne, komm... ist zwar schon spät, aber das bekommst du jawohl hin :-)

x²=25/16a²

x²-y²=a²

25/16a² - y² = a²

y² = 25/16a² - a²

Edit: Bei Deiner Rechnung -16a², nicht +16a² rechnen :-)

klaneeli aktiv_icon

00:29 Uhr, 02.06.2010

ich kann aber x² und y² auch in x²-y²=a²
einsetzen oder?

is einfacher ?

klaneeli aktiv_icon

00:31 Uhr, 02.06.2010

und was mus ich machen dass ich den Berührpunkt

(5 | 3)

erhalte ( steht in der Lösung )
ach ich bin schon zu müde um zu rechnen ..

Sams83 aktiv_icon

00:31 Uhr, 02.06.2010

Ist einfacher, dann steht da nur leider da:
a² = a²
also

1 = 1

Dein a bekommst Du so leider nicht raus...

klaneeli aktiv_icon

00:35 Uhr, 02.06.2010

habs grad gesehn .aber wenn ichs in meine tangentengl. einsetz kommt wieder ein schmarn raus

- . -

klaneeli aktiv_icon

00:37 Uhr, 02.06.2010

aaach nein ! habs schon :-)

jetzt fehlt mir nur noch wie ich auf den punkt komm

Sams83 aktiv_icon

00:38 Uhr, 02.06.2010

y = \frac{5}{3} \cdot x - \frac{16}{3}

x²=25/16a²

x = \frac{5}{4} \cdot a

y²=9/16a²

y = \frac{3}{4} a

\frac{3}{4} a = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot a - \frac{16}{3}

\frac{3}{4} a = \frac{25}{12} a - \frac{16}{3}

9 a = 25 a - 64

- 16 a = - 64

a = 4

Also:
x²/16 - y²/16

= 1

Der Berührpunkt ist dann

(x | y) = (\frac{5}{4} \cdot a | \frac{3}{4} \cdot a) = (5 | 3)

klaneeli aktiv_icon

00:41 Uhr, 02.06.2010

ach danke :-)

und das "berechnen" des Berührpunktes kann ich einfach so anschreiben und so kürzen ?

Sams83 aktiv_icon

00:43 Uhr, 02.06.2010

Ja klar, Du kennst ja jetzt Dein

a .

Alternativ kannstt Du natürlich auch nochmal die Kurven gleichsetzen, aber das hast Du ja oben im Prinzip (durch Einsetzen des

x

und

y

in die Tangentengleichung) schon gemacht...

klaneeli aktiv_icon

00:46 Uhr, 02.06.2010

okay gute :-)

danke danke danke :-))du hast mich gerettet :-)

Sams83 aktiv_icon

00:47 Uhr, 02.06.2010

wunderbar, dann kann ich ja jetzt auch schlafen gehen ;-)

Gute Nacht :-)

klaneeli aktiv_icon

01:42 Uhr, 02.06.2010

was mir jedoch noch immer nicht einleuchtet ist , wieso ich annehmen kann

: a = b

??
wieso darf ich das annehmen ? wegnd er asymptote aber warum !?

CKims aktiv_icon

02:23 Uhr, 02.06.2010

bei der allgemeinen hyperbelgleichung

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

ist die asymptote immer

\pm \frac{b}{a} x

auswendig lernen. das kommt daher dass man sich die hyperbel als funktion betrachtet und sich den verlauf des graphen im unendlichen betrachtet. hattet ihr schon den limes in der schule? wenn nein dann einfach die folgende rechnung ueberspringen

also erstmal die hyperbelgleichung nach

y

umstellen ergibt

y = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2} - b^{2}}

dann gucken wie sich die funktion im unendlichen verhaelt

lim_{x \to \pm \infty} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2} - b^{2}} = lim_{x \to \pm \infty} \pm \sqrt{x^{2} (\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{b^{2}}{x^{2}})}

= lim_{x \to \pm \infty} \pm x \sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{b^{2}}{x^{2}}} = lim_{x \to \pm \infty} \pm x \sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}} - 0}

= lim_{x \to \pm \infty} \pm x \sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}}} = lim_{x \to \pm \infty} \pm \frac{b}{a} x

die hyperbel schmiegt sich im unendlich also immer mehr der geraden

\pm \frac{b}{a} x

an.

jetzt ist dir ja laut aufgabe gegeben dass die asymptote

\pm x

sein soll. also muss gelten

\pm \frac{b}{a} x = \pm x

wir koennen jetzt nicht genau sagen was a und

b

ist, aber koennen wir sagen dass

a = b

sein muss damit der bruch 1 ergibt.

lg

klaneeli aktiv_icon

18:16 Uhr, 02.06.2010

okay is klar ;-)
danke für die hilfe :-)

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