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Hyperbel Mittelpunkts- und Asymptotengleichung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Hyperbelfunktion

Tintenkiller aktiv_icon

15:02 Uhr, 25.09.2015

Die Aufgabe:

Stellen Sie die Mittelpunktgleichung der Hyperbel auf, für die der Abstand der Brennpunkte

10

und der Abstand der Scheitelpunkte 6 beträgt. Wie lauten die Gleichungen ihrer Asymptoten?

Meine Ansätze:

Formel für Mittelpunktgleichung:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Abstand der Brennpunkte:

10,

somit

a = 5

Abstand der Scheitelpunkte:

6,

somit

e = 3

e^{2} = a^{2} + b^{2}

b^{2} = a^{2} - e^{2}

b^{2} = 5^{2} - 3^{2}

b^{2} = 16

b = 4

Mittelpunktgleichung der Hyperbel:

\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1

Gleichung der Asymptoten:

y = \pm \frac{b}{a} x

y = \pm \frac{4}{5} x

Stimmen die Ergebnisse, hab ich was übersehen oder die Formelsammlung falsch interpretiert?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

19:06 Uhr, 25.09.2015

.
"
Stimmen die Ergebnisse ' "

... . . \to

NEIN

! . .

. siehe

\to

Abstand der Brennpunkte:

10

(RICHTIG), somit

a = 5 .

. ->FALSCH

! \to

nicht

a,

sondern

e = 5

Abstand der Scheitelpunkte: 6 (RICHTIG),somit

e = 3 .

. ->FALSCH

! \to

nicht

e,

sondern

a = 3

e^{2} = a^{2} + b^{2} ... \to

RICHTIG

b^{2} = a^{2} - e^{2} . .

\to

unglaublich FALSCH !
"

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

also:

AUS

\to e^{2} = a^{2} + b^{2} .

. FOLGT

\Rightarrow b^{2} = e^{2} - a^{2}

. .

. mach also alles nochmal .. und dann hoffentlich richtig :

\to . .

Tintenkiller aktiv_icon

21:55 Uhr, 25.09.2015

Ok nochmal:

e = \frac{1}{2}

Strecke von

F 1

F 2

a = \frac{1}{2}

Strecke von

S 1

S 2

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1

e^{2} = a^{2} + b^{2}

b^{2} = e^{2} - a^{2}

b^{2} = 5^{2} - 3^{2} =^{6}

b = 4

Mittelpunktgleichung der Hyperbel:

\frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1

Gleichung der Asymptoten:

y = \pm \frac{b}{a} x

y = \pm \frac{4}{3} x

rundblick aktiv_icon

22:20 Uhr, 25.09.2015

.

gut so - jetzt ist alles richtig !

allerdings:

aus der Aufgabenstellung geht nicht eindeutig hervor, ob die
Scheitel - und Brennpunkte auf der x-Achse liegen müssen ..
.. wie würde zB eine Mittelpunktsgleichung der Hyperbel aussehen,
wenn die erwähnten Punkte zB auf der y-Achse herumliegen?

Und was wäre die Antwort, wenn der Mittelpunkt nicht im Ursprung
sondern irgendwo im Punkt

M (u, v)

sich wohler fühlen würde ?

usw..

Tintenkiller aktiv_icon

00:44 Uhr, 26.09.2015

Erstmal danke und was den Denkanstoß angeht muss ich kurz mal schaun...

Tintenkiller aktiv_icon

01:28 Uhr, 26.09.2015

Laut einer Formel im Buch lautet die Formel einer an der y-Achse gespiegelten Hyperbelfunktion

\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1

.
Wie kommt man zu dieser Annahme?

Zwar läge die Hauptachse nun auf der y-Achse, aber die Werte für

a, b

und

e

ändern sich dabei nicht.

Mit einsetzen wäre das dann:

\frac{y^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{4^{2}} = 1

Für die Tangentengleichung:

y^{- 1} = \frac{b}{a} x

\frac{a}{b x} = y

also dann:

y = \frac{3}{4 x}

wäre dann die Tangentengleichung einer Hyperbel, die an der y-Achse gespiegelt ist.

Liege ich richtig oder ist das wieder nichts?

Tintenkiller aktiv_icon

09:59 Uhr, 26.09.2015

Zur Frage: Was wäre, wenn der Mittelpunkt nicht im Ursprung läge?

Formel für Hauptlage:

\frac{{(x - x 0)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - y 0)}^{2}}{b^{2}} = 1

Weil ich keinen Punkt mit Koordinaten habe, kann ich für

x

und

y

keine Werte einsetzen.

\frac{{(x - x 0)}^{2}}{3^{2}} - \frac{{(y - y 0)}^{2}}{4^{2}} = 1

Für die Asymptote gilt das selbe

y = y 0 \pm \frac{b}{a} (x - x 0)

y = y 0 \pm \frac{4}{3} (x - x 0)

Das hier hier gelte für eine Hyperbel deren Scheitel- und Brennpunkte auf der x-Achse liegen. Da ich nicht weiß, ob meine Rechnung im vorigen Abschnitt korrekt ist, lasse ich die Umrechnerei erstmal.

rundblick aktiv_icon

10:59 Uhr, 26.09.2015

\to

die Gleichung der in Richtung y-Achse geöffneten Hyperbel hast du RICHTIG.

aber dies ist ein Desaster

\to

"also dann:

y = \frac{3}{4 x}

wäre dann die Tangentengleichung einer Hyperbel,
die an der y-Achse gespiegelt ist."

\to y = \frac{3}{4 x}

ist doch selbst die Gleichung einer Hyperbel (mit den Koordinatenachsen
als Asymptoten).. und keinesfalls eine Geradengleichung für die hier gesuchte Asymptote

da "liegst" du völlig neben dem Bett der Erkenntnis

\to

\to

überlege also neu:

. .

.

.

Tintenkiller aktiv_icon

11:39 Uhr, 26.09.2015

Hab mal sinngemäß umgestellt...

Asymptotengleichung einer Hyperbel deren Scheitel- und Brennpunkte auf der x-Achse liegen:

y = \frac{b}{a} x

Asymptotengleichung einer Hyperbel deren Scheitel- und Brennpunkte auf der y-Achse liegen:

y = \frac{a}{b} x

also

y = \frac{3}{4} x

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