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Hyperbel- und Areafunktionen

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Tags: Umkehfunktion der Hyperbelfunktion

E0203 aktiv_icon

13:28 Uhr, 06.01.2011

Also hier meine Aufgabe, die ich nicht selbständig lösen kann:
Zeigen Sie, dass für die Umkehrfunktion der Hyperbelfunktion $cosh$ für Argument $x$ $\geq$ 0 gilt:

arcosh x=ln(x+ $\sqrt{x^{2} - 1}$ ) $x$ $\geq$ 1

Also einen Lösungsansatz habe ich schon: $\cosh (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ (das ist ja der kosinus hyperbolicus) $\Rightarrow y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) \Rightarrow e^{2 x} - 2 y e^{x} + 1 = 0$ der letzte Schritt ist mir dann überhaupt nicht klar, ich muss ja sogesagt die Umkehrfunktion von coshx aufstellen um dann zuschauen, ob ich zum gleichen Ergebnis wie oben angegeben komme, oder??? Kann mir da jemand evtl. helfen????

pwmeyer aktiv_icon

13:35 Uhr, 06.01.2011

Hallo,

wenn Du definierst:

w := e^{x},

dann lautet Deine Gleichung (mit Potenzgesetzen):

w^{2} - 2 \cdot y \cdot w + 1 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung für

w,

die löst Du auf und setzt

x = ln (w)

. Dabei musst Du aufpassen, weil eine quadratische Gleichung evtl. 2 Lösungen hat.

Gruß pwm

E0203 aktiv_icon

13:52 Uhr, 06.01.2011

Mhhh....ok jetzt ist es etwas klarer, dankeschön :)! Hab aber hier nochmal ein Bsp.:

$y = \sinh x \Leftrightarrow y = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

dann muss ich es ja zunächst nach $e^{x} = z$ auflösen:

$\Leftrightarrow y = \frac{1}{2} (z - \frac{1}{z}) \Leftrightarrow 2 z y = z^{2} - 1 \Leftrightarrow 0 = z^{2} - 2 y z - 1$

Meine Frage: Wieso wird das $z$ zu $z^{2}$ und warum wird das ${- e}^{- x}$ zu $\frac{1}{z}$ ??? Ich kann das nicht nachvollziehen!!!

anonymous

15:48 Uhr, 06.01.2011

Erstmal wird nicht

- e^{- x}

\frac{1}{z},

sondern nur

e^{- x}

e^{- x}

kann, laut den Potentzgesetzen, auch als

\frac{1}{e^{x}}

geschrieben werden.

Wenn man nun

e^{x}

durch

z

ersetzt, was man ja machen darf, da du

z = e^{x}

definiert hast:

e^{- x} = \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{z}

Nun zur Frage, warum da

z^{2}

entsteht:

y = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x}) = \frac{1}{2} \cdot (z - \frac{1}{z})

Soweit sollte das nun klar sein.Den nächsten Schritt teile ich in Einzelschritte auf.

Nun multipliziert man einfach mit

2,

damit das

\frac{1}{2}

verschwindet:

2 y = z - \frac{1}{z}

Da man nun das

z

nicht im Nenner stehen haben will, multipliziert man auch mit

z :

2 y \cdot z = (z - \frac{1}{z}) \cdot z

2 y \cdot z = z \cdot z - \frac{1}{z} \cdot z

Wobei man

z \cdot z

eben auch als

z^{2}

schreiben kann und

\frac{1}{z} \cdot z

sich zu 1 kürzt:

2 y \cdot z = z^{2} - 1

Und nun hat man eben ein

z^{2}

in der Gleichung stehen.

E0203 aktiv_icon

15:56 Uhr, 06.01.2011

Vielen lieben Dank an dich.........toll erklärt!!! Grüßle

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