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Hyperflächen und Differmorphismus

Universität / Fachhochschule

Differentialtopologie

Tags: Differentialtopologie

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10:40 Uhr, 13.04.2021

Hallo liebes Forum. Ich belege dieses Semester eine Vorlesung über Differentialgleichungen und gleich in der ersten Übung komme ich schon nicht wirklich klar, deswegen wäre ich über Hilfe bei den zwei Aufgaben sehr froh!

1. Es sei

n \in N

. Für

α_{1}, . . ., α_{n + 1}

> 0 und r > 0 seien
M := {

x \in R^{n + 1}

\sum_{v = 1}^{n + 1} \frac{x_{v}^{2}}{a_{v}^{2}} = r^{2}

} und H := {

x \in R^{n + 1}

\sum_{v = 1}^{n} \frac{x_{v}^{2}}{a_{v}^{2}} = r^{2} + \frac{x_{n + 1}^{2}}{a_{n + 1}^{2}}

}. Zeigen Sie, dass M und H Hyperflächen in

R^{n + 1}

sind und skizzieren Sie diese im Fall n =1, r = 1 und

α_{1} = 1, α_{2} = \sqrt{2}

--> hier entspricht M ja der Menge der Ellipsoide (n=1: Ellipse) und H die Menge der Hyperboloide (n=1: Hyperbel), also muss ich ja irgendwie zeigen, dass diese n-dim. Ebenen im

R^{n + 1}

sind, aber ich komme einfach auf keinen vernünftigen Ansatz.
Evtl. könnte ich versuchen eine beliebig oft diff.bare Funktion f zu finden auf dem

R^{n + 1}

, bei der die Ableitung nicht 0 wird, oder?
Die Zeichnung kann ich mir aktuell auch noch nicht wirklich vorstellen...

2.Es sei

U_{1} (0)

:= {

x \in R^{n}

: |x| < 1} und f :

U_{1} (0) \to R^{n}

definiert durch f(x) =

\frac{x}{\sqrt{1 - ∣ x ∣^{2}}}

(x \in U_{1} (0)) .

Zeigen Sie, dass f ein Diffeomorphismus ist. Folgern Sie, dass

(- 1, 1)^{n}

und

U_{1} (0)

zueinander diffeomorph sind.

--> erstmal eine Frage: ist hier die Wohldefiniertheit auch zu zeigen?
Und ansonsten muss man zeigen, dass die Funktion bijektiv (also injektiv und surjektiv) ist, wobei ich mich hier aber mit der offenen Einheitskugel U als Def.bereich schwertue...
Und für die Folgerung, dass

(- 1, 1)^{n}

und

U_{1} (0)

zueinander diffeomorph sind, habe ich gar keine echte Idee.

ermanus aktiv_icon

11:17 Uhr, 13.04.2021

Hallo,
"also muss ich ja irgendwie zeigen, dass diese n-dim. Ebenen im Rn+1 sind"
Du meinst sicher eher, dass diese n-dimensionale Untermannigfaltigkeiten
im

R^{n + 1}

sind, oder?
Wie genau sind bei euch Hyperflächen definiert?
Habt ihr Sätze, die euch sagen, dass eine solche Untermannigfaltigkeit
vorliegt, wenn sie sich als

f^{- 1} (c)

mit einer diffbaren Funktion (

C^{1}

oder

C^{\infty}

)

f : R^{n + 1} \to R

interpretieren lässt, wobei

c \in R

ein sog.
nichtkritischer Wert ist?
Gruß ermanus

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12:23 Uhr, 13.04.2021

Die Hyperfläche haben wir eigentlich ähnlich definiert wie in diesem Skript der Uni Ulm in Punkt 2.1:
www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.020/Stoffers/Analysis_3_WS_15/untermannigfaltigkeiten.pdf

Hierbei handelt es sich ja nur um eine Untermannigfaltigkeit mit d=n-1 (bei uns hieß lediglich d=k)

Den Begriff "nichtkritischer Wert" habe ich in dem Bezug noch nicht gehört

Die Betrachtung mit der Inversen hatten wir daher nur in Bezug zum Diffeomorphismus, wobei f ein Diffeomorphismus ist, falls f und

f^{- 1}

n mal stetig diff.bar sind

ermanus aktiv_icon

12:50 Uhr, 13.04.2021

Unter Punkt 2.1 im Skript Bemerkung (iv) steht doch, dass eine
Hyperfläche vorliegt, wenn man die Menge auffassen kann als

f^{- 1} (0)

,
also als Menge der Nullstellen einer diffbaren Funktion, wobei
der Gradient von

f

auf der Menge nirgends verschwindet.

f^{- 1}

ist hier nicht die Umkehrfunktion, sondern die Urbildmenge.
Betrachten wir die Menge

M

.
Dann ist

M = f^{- 1} (0)

, wenn man

f (x) = \sum \frac{x_{ν}^{2}}{a_{ν}^{2}} - r^{2}

als Funktion wählt ...

aabbccdd aktiv_icon

13:10 Uhr, 13.04.2021

Achso, dann hatte ich deine Notation falsch verstanden, wir benennen die Ableitung (bzw. Urbildmenge) immer mit f' oder mit dem Gradienten...

Eine solche Bemerkung hatten wir auch im Skript, und zwar: Ist U als Teilmenge des

R^{n}

offen, f: U--> R bel. oft diff.bar, M={

x \in U : f (x) = 0

} und

\nabla f (p)

ungleich 0 (

p \in M

), so ist M schon Hyperfläche des

R^{n}

Entspricht bei deiner Notation dann

f^{- 1} (0)

\nabla f (p) (0)

?
Das wäre ja dann

- r^{2}

wenn ich mich nicht irre und somit ungleich 0?

ermanus aktiv_icon

13:17 Uhr, 13.04.2021

Meine Bezeichnungsweise ist dieselbe wie eure.

{x \in U : f (x) = 0}

ist doch dasselbe wie

f^{- 1} (0)

.
Das hat mit dem Gradienten garnichts zu tun.
Der Gradient von

f

ist aber garantiert nicht

- r^{2}

.
Und du sollst ja nicht den Gradienten

\nabla f

an der Stelle 0
auswerten, sondern auf den Punkten von

M

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13:31 Uhr, 13.04.2021

Jetzt bin ich etwas verwirrt. Also muss ich als erstes die Umkehrfunktion am Punkt 0 berechnen, um dann die Punkte x aus der Menge zu bestimmen?
Und auf diese Punkte wende ich dann den Gradienten an?

Müsste dann

x_{v}

a_{v} * r

sein, um die Funktion 0 werden zu lassen, oder wie berechnest du das dann?

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13:35 Uhr, 13.04.2021

Nein. Du berechnest den Gradienten und schaust nach,
wo er 0 ist. Wenn du dann siehst, dass die Punkte, in denen
er 0 ist, gar nicht in

M

liegen, bist du fertig.
Wie sieht denn dein Gradient aus?

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13:43 Uhr, 13.04.2021

Ok, ich tue mich einfach unglaublich schwer damit, selbst auf so Ideen zu kommen, das ist einfach nicht meine Art zu lernen..

Also dann leite ich nach

x_{v}

ab und dann müsste der Gradient ja

\frac{2 * x_{v}}{a_{v}^{2}} s e i n, o d e r b i n i c h j e t z t g a n z f a l s c h

ermanus aktiv_icon

13:48 Uhr, 13.04.2021

Das hast du richtig gesehen, also ist

\nabla f (x) = (\frac{2 x_{1}}{a_{1}^{2}}, \dots, \frac{2 x_{n + 1}}{a_{n + 1}^{2}})

.
Wann ist dieser Gradient

= 0

aabbccdd aktiv_icon

13:53 Uhr, 13.04.2021

Ok gut

Der ist 0, wenn alle Variablen

x_{v}

=0 sind, und hiermit wird man dann ja wahrscheinlich sehen, dass diese nicht in M liegen, aber wieso genau?

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13:55 Uhr, 13.04.2021

Dann setz doch mal

(0, \dots, 0)

f

ein.

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14:06 Uhr, 13.04.2021

ok ja ich sehe es, passt natürlich nicht mit dem

r^{2}

... Und daraus folgt dann direkt, dass M Hyperfläche ist?

Für die Menge H wäre ja dann das gleich zu tun, nur dass beim Gradienten die Variable

x_{n + 1}

fehlt. Wie zeige ich dann hier, dass H trotzdem Hyperfläche ist?

ermanus aktiv_icon

14:25 Uhr, 13.04.2021

Bei

H

ist der

x_{n + 1}

-Term nur auf der rechten Seite der Gleichung.
Bring alles nach links und nenne den Ausdruck z.B.

g (x)

,
dann geht es genauso weiter wie bei

M

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16:00 Uhr, 13.04.2021

Ok, wenn ich es rüberziehe erhalte ich

g (x) = \frac{x_{v}^{2}}{a_{v}^{2}} - \frac{x_{n + 1}^{2}}{a_{n + 1}^{2}}

Dieses kann ich wieder partiell ableiten erhalte ich

\nabla (g (x)) = (\frac{2 x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}, . . ., \frac{2 x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}, - \frac{2 x_{n + 1}^{2}}{a_{n + 1}^{2}})

Und das ist wieder null wenn alle

x_{v} = 0

, und diese können aus vorherigem Grund wieder nicht in H sein. Somit sind H und M Untermannigfaltigkeiten, genauer Hyperflächen. Alles ok soweit?

Nun zur graphischen Veranschaulichung:
Wenn ich die Werte für M einsetze, ist diese Menge dann der Rand des Einheitskreises mit Radius 1 und dem Ursprung als Mittelpunkt? Aber das wäre ja keine echte Ellipse, oder?
Und bei der H wüsste ich aufgrund des "Anhängsels" spontan gar nicht wie die Menge aussehen könnte?

ermanus aktiv_icon

16:16 Uhr, 13.04.2021

Hallo,
soweit ist alles OK.
Wieso bekommst du den Einheitskreis? Es ist doch

a_{2} = \sqrt{2}

.
Und zur Zeichnung von

H

bei den vorgegebenen Werten:
es ist eine stinknormale Hyperbel. Du kannst ja mal das Internet
befragen, wie man

a_{1}, a_{2}

zu interpretieren hat ...

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16:44 Uhr, 13.04.2021

Ok, ich glaube ich habs jetzt, hab mir das mal mithilfe von Wolfram Alpha veranschaulicht:

Für M: www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2B0.5y%5E2-1 (Ellipse)
Für H: www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2-0.5y%5E2-1 (Hyperbel)

Dann komme ich noch zur 2. Aufgabe:
also zu meinen Fragen:
--> erstmal eine Frage: ist hier die Wohldefiniertheit auch zu zeigen?
Und ansonsten muss man zeigen, dass die Funktion bijektiv (also injektiv und surjektiv) ist, wobei ich mich hier aber mit der offenen Einheitskugel U als Def.bereich schwertue...
Und für die Folgerung, dass

(- 1, 1)^{n}

und

U_{1} (0)

zueinander diffeomorph sind, habe ich gar keine echte Idee.

ermanus aktiv_icon

17:38 Uhr, 13.04.2021

Ich gehe davon aus, dass

∣ v ∣

für einen Vektor in

R^{n}

die euklidische Norm bedeuten soll.
Was die Wohldefiniertheit anbetrifft, reicht es zu bemnerken, dass
der Radikand im Nenner für alle

x \in U_{1} (0)

positiv ist.
Die Diferenzierbarkeit ist auch ersichtlich aus der Zusammensetzung
des definierenden Ausdrucks.
Also muss Bijektivität gezeigt werden und die Diffbarkeit der Umkehrfunktion
muss erörtert werden.

Wenn dies gelungen ist, hat man gezeigt, dass

U_{1} (0)

und

R^{n}

diffeomorph sind, in Zeichen

U_{1} (0) ≅ R^{n}

.
Nun überlege man sich, dass auch

(- 1, 1)^{n} ≅ R^{n}

gilt.
Da

≅

eine Äquivalenzrelation ist, kann man hieraus auf

U_{1} (0) ≅ (- 1, 1)^{n}

schließen, ohne den konkreten Diffeomorphismus
angeben zu müssen.

ermanus aktiv_icon

18:14 Uhr, 13.04.2021

Wenn du die Umkehrfunktion zu

f

kennst, musst du weder
Injektivität noch Surjektivität nachweisen.
Ich schenke sie dir hier:

g : R^{n} \to U_{1} (0), x \mapsto \frac{x}{\sqrt{1 + {∣ x ∣}^{2}}}

.
Natürlich musst du nachrechnen, dass dies auch die Umkehrfunktion ist.

aabbccdd aktiv_icon

19:26 Uhr, 13.04.2021

Ok super. Also kann ich die Bijektivität einfach umgehen, indem ich direkt eine Umkehrfunktion berechne und nachweise, dass diese auch tatsächlich eine solche ist?
Weil für eine Umkehrfunktion zu haben, muss die ursprüngliche Funktion ja bijektiv sein, woraus dies folgen würde, oder?
Und der Nachweis ist ja recht einfach zu führen, indem ich nach x auflöse, da bekomme ich dann genau deine Funktion heraus.

ermanus aktiv_icon

19:30 Uhr, 13.04.2021

Du siehst das ganz richtig, die Angabe einer Umkehrfunktion reicht vollkommen aus.
Aber was deren Gestalt in unserem Falle anbetrifft,
geht nicht ganz so einfach; denn

x

ist ja ein

n

-Tupel.
Ich würde daher eher vorschlagen, dass du

f (g (x)) = x

und

g (f (x)) = x

verifizierst.
Natürlich bin ich auf mein

g

gekommen, indem ich den eindimensionalen
Fall nach

x

aufgelöst habe, also so, wie du es vermutlich gemacht hast.

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19:38 Uhr, 13.04.2021

Woran scheitert es denn, wenn ich die Funktion nach dem n-Tupel x auflöse, da kommt doch eigentlich exakt dasselbe heraus oder nicht?

Und das f(g(x)) und g(f(x)) müsste ich dann doch auch vektorwertig bestimmen oder?

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19:42 Uhr, 13.04.2021

Vielleicht scheitert es nur bei mir, weil ich nicht wüsste, wie ich es machen
soll, da in

∣ x ∣^{2}

sich ja in Wirklichkeit

x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}

verbirgt
und ich die Variablen aus dieser Quadratsumme nicht eindeutig extrahieren kann.
Aber vielleicht hast du ja ein nachvollziehbares Verfahren ?

Ja, die

f \circ g

-Geschichte und die

g \circ f

-Geschichte musst du
vektorwertig berechnen.

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19:58 Uhr, 13.04.2021

Wenn ich das auf Anhieb wüsste, wäre ich wohl nicht hier :-)
Wäre es dann aber nicht sogar vorteilhafter, den klassischen Weg über den Beweis der Bijektivität zu gehen? Oder worin liegt genau der Vorteil, das über f(g(x)) zu machen, hier treten doch ähnliche Umformungsprobleme auf, oder nicht?

ermanus aktiv_icon

20:04 Uhr, 13.04.2021

Wie willst du denn die Surjektivität zeigen, wenn du nicht weißt,
wie ein Urbild-Tupel

x

zu vorgegebenem

y

aussehen könnte?
Und wie willst du die Diffbarkeit der Umkehrfunktion zeigen?
Sicher wird das irgendwie gehen, aber mit der konkreten Funktion

g

zu arbeiten ist sicher komfortabler.

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20:07 Uhr, 13.04.2021

Nun habe ich aber auch schon versucht, f(g(x)) und andersherum zu berechnen, habe die jeweils ineinander eingesetzt, quadriert und soweit vereinfacht wie ich konnte, aber am Ende komme ich auch nicht auf das eine x...

ermanus aktiv_icon

20:28 Uhr, 13.04.2021

Gut. Ich rechne dir mal

g (f (x))

vor:

g (f (x)) = \frac{f (x)}{\sqrt{1 + {∣ f (x) ∣}^{2}}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - {∣ x ∣}^{2}}}}{\sqrt{1 + {∣ \frac{x}{\sqrt{1 - {∣ x ∣}^{2}}} ∣}^{2}}} =

Mit

\sqrt{1 - {∣ x ∣}^{2}}

erweitern:

\frac{x}{\sqrt{1 - {∣ x ∣}^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{1 - {∣ x ∣}^{2}} {∣ x ∣}^{2}}} = x

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22:27 Uhr, 13.04.2021

Dann danke ich dir vielmals, die Aufgabe dürfte ja damit gelöst sein. f(g(x)) ist ja dann das gleiche in grün, nur mit anderem Vorzeichen. Die Idee mit dem Erweitern ist mir aber vorhin nicht gekommen...

Super, dass es hier so hilfsbereite Menschen gibt :-)

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