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IR^ (IR einschließlich +oo und -oo)
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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Ich brauche dringend Hilfe... Lag und liege immer noch mit Fieber zu Hause und kann die Veranstaltungen nicht besuchen! Muss aber morgen diese Aufgaben abgeben (lassen). Kann mir jemand ganz schnell helfen??? Danke schon mal an alle!!! 1.Algebraische Operationen sollen in IR^ so eingeführt werden, dass für die Regel IR^ - lim an = a und IR^ - lim bn =b => IR^ - lim an (algebraische Operation) bn = a (algebraische Operation) b für alle Folgen (an) und (bn) gilt. a e IR \ {0}. Für welche Ausdrücke ist dies Möglich und gleich welchem Element muss man sie setzen? (+oo) * (-oo) (+oo) / (-oo) 0 / (+oo) (+oo) / 0 2. i) Die "Gauß-Klammer" [x] (ganzzahliger Anteil von x) ist für alle x e IR durch [x]:=max{m e Z : m (kleiner gleich) x} definiert. Bestimme lim (n->oo) sup und lim (n->oo) inf für die Folge an:= 1/n{(-1)^n*2n+(-1^[n/3]*(n+1)} ii) Von einer Folge (bn) sei bekannt, dass dei Teilfogen (b2n),(b(2n-1)) und (b5n) alle konvergieren, aber mit unbekannten Grenzwerten. konvergiert dann auch (bn)? Beweis oder Gegenbeispiel! 3. i) Sei pn (kleiner gleich) x (kleiner gleich) qn und lim (n->oo) (qn-pn) = 0. Zeige, dass dann lim pn = lim qn =x gilt. ii) Die Menge 2^-n * Z bildet ein "Gitter mit der Maschenweite" 2^-n auf der ZAhlengeraden. Wende i) auf pn := max {p e 2^-n * Z : p<x} und qn:= pn + 2^-n an und zeige so, dass jede reelle Zahl Grenzwert einer Folge Q ist. (Man zeigt, die rationalen Zahlen liegen dicht in IR) iii) Zeige, dass nur de Funktion der Form f(x) = mx , m e IR die Eigenschaft (für alle x,y e IR gilt) f(x+y) = f(x) + f(y) haben. Anleitung: Zeige zunächst f(0)=0 und dann f(x)=mx der Reihe nach per Induktion für x,y e IN, für Z, dann für Q und benutze anschließend ii) |
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