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Ich verstehe den Beweis nicht... separabler Raum

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, MATH, Mathematik, Metrische Räume, seperabel

anonymous

18:36 Uhr, 18.04.2021

Hallo!

Hier der Beweis um den es sich handelt:

B e h a u p t u n g :

Teilmengen von seperablen metrischen Räumen sind seperabel.

B e w e i s :

Sei

(X, d)

ein seperabler metrischer Raum. Dann existiert eine abzählbare dichte Teilmenge

D := {x_{1}, x_{2}, ...} \subset X

.

Sei nun

Y \subset X

und definiere

d (x, Y) := i n f_{y \in Y} d (x, y)

.

Dann gibt es nach der Definition von

d

zu jedem

k, n \in ℕ

ein

y_{k n} \in Y,

so dass

d (x_{k}, y_{k n}) < d (x_{k}, Y) + \frac{1}{n}

.

Zeige nun, dass die Menge

D_{Y} := {y_{k n}}_{k, n \in ℕ} \subset Y

dicht in

Y

liegt, also

{\bar{D}}_{Y} = Y

.

Dazu seien

y \in Y

und

ε > 0

gegeben. Da

\bar{D} = X,

gibt es ein

x_{k} \in D

mit

d (x_{k}, y) < ε

.

Wähle nun

n

so, dass

\frac{1}{n} < ε

. Dann gilt für das zugehörige

y_{k n} :

d (y, y_{k n}) \leq d (y, x_{k}) + d (x_{k}, a_{y n}) < ε + d (x_{k}, Y) + \frac{1}{n} \leq ε + d (x_{k}, y) + \frac{1}{n} \leq 3 ε

.

Da

ε

beliebig ist, folgt die Behauptung.

□

Es wird gesagt:

"Dann gibt es nach der Definition von

d

zu jedem

k, n \in ℕ

ein

y_{k n} \in Y,

so dass

d (x_{k}, y_{k}

n))<d(x_k,Y)+1/n."

Da verstehe ich nicht ganz... aus welcher Eigenschaft der Distanzfunktion folgt denn das...? Und irgendwie verstehe ich nicht warum da jetzt zwei Indizes

(n, k \in ℕ)

benutzt werden... Ich meine was ist denn jetzt

y_{k n}

+

Wenn ich das verstanden habe, sollte ich den restlichen Beweis auch verstehen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen, danke und LG.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

18:55 Uhr, 18.04.2021

"Da verstehe ich nicht ganz... aus welcher Eigenschaft der Distanzfunktion folgt denn das...?"

Das folgt nicht aus den Eigenschaften der Distanzfunktion, sondern aus der Definition des Infinums.
Denn diese Definition sagt: für jedes

ε > 0

existiert ein

y_{0} \in Y

mit

d (x, y_{0}) < d (x, Y) + ε

. Nun wird

ε = 1 / n

genommen.

"Und irgendwie verstehe ich nicht warum da jetzt zwei Indizes (n,k∈ℕ) benutzt werden... Ich meine was ist denn jetzt ykn? "

y_{k n}

ist eine Folge aus

Y

, die

d (x_{k}, Y)

minimiert. Man braucht zwei Indizies, um eine dichte Menge der Elementen aus

Y

zu konstruieren. Nämlich

{y_{k n}, k, n \in ℕ}

.

UPDATE. Korrigiert.

anonymous

19:01 Uhr, 18.04.2021

Super Danke!

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