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Ideale, Hauptideale

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

She-Ra aktiv_icon

20:07 Uhr, 24.06.2015

Guten Tag,

bei meiner Aufgabe geht es um Ideale und Hauptideale. Da tu ich mich noch bisschen schwer mit :-/

Zu zeigen: Ideal

(X^{2} - 8 X + 15, X^{3} - 3 X^{2} + X - 3)

im Ring

(Q [X], +, *)

ist ein Hauptideal.

ok zunächst noch mal die Definitionen zu diesen Begriffen.

DEF 1: Es sei

(R, +, *)

ein Ring. Eine Untergruppe

(α, +)

der additiven Gruppe

(R, +)

heißt Ideal von R, falls die Produkte

r * a, a * r \forall a \in α

und

\forall r \in R

ebenfalls in

α

liegen, d.h. falls die Inkulsion

R * a :=

{

r * a ∣ r \in R, a \in α

}

\subseteq α

a * R :=

{

a * r ∣ r \in R, a \in α

}

\subseteq α

beschrieben.

Def 2: Es sei

(R, +, *)

ein kommutativer Ring. Zu einem fest gewählten

a \in R

betrachten wir die Menge

a :=

{

a * r ∣ r \in R, a \in α

}

\alpha ist Ideal von R. Wegen 0

\in α

ist

α

nicht leer. Sind weiter

a * r_{1}, a * r_{2} \in α

, so ist auch die Differenz

a * r_{1} - a * r_{2} = a * (r_{1} - r_{2}) \in α

.

Nach dem Untergruppenkriterium ist

(α, +)

somit eine UG der additiven Gruppe

(R, +)

. Ist schließlich

a * r \in α

und

s \in R

, so ergibt sich unter Berücksichtigung der Assozi. und Kommuta. der Multiplikation

s * (a * r) = a * (r * s) \in α

, d.h. wir haben

R * α \subseteq α

aufgrund der Kommutativität

α * R \subseteq α

. Somit ist

α

ein Ideal von

R

. Wir nennen es das Hauptideal zu

α

und bezeichnen es mit
(a).

So also ich komme nicht weiter, weil ich hab ja Polynome gegeben, also neige ich "natürlich" dazu etwa zu rechnen, sprich eine Polynomdivision bzw. den euklidischen Algorithmus durchführen und ggT angeben.

Ist das vielleicht schon mal ein Ansatz? Brignt mich das weiter?

Außerdem weiß ich aus meiner Übung, dass wenn

a, b \in Z

, dann gilt

(a, b)_{I}

(

I :=

Ideal) ist das gleiche wie das Ideal, was vom ggT was von den beiden Zahlen erzeugt wird, sprich

(a, b)_{I} = (g g T (a, b))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:38 Uhr, 24.06.2015

"Ist das vielleicht schon mal ein Ansatz? Brignt mich das weiter?"

Natürlich. Du musst nur zeigen, dass dieses Ideal von einem einzigen Element erzeugt wird (das ist die Definition von einem Hauptideal) und dieses Element ist natürlich ggT in diesem Fall.

She-Ra aktiv_icon

22:26 Uhr, 24.06.2015

Hallo Dr. Boogie,

Ja ok, also ich hab das gemacht

Es gilt

a = q * b + r

(Division mit Rest)

Also

a = q_{1} * b + r_{1}

(X^{3} - 3 X^{2} + X - 3)

(X^{2} - 8 X + 15) = X + 5

+ Rest 26X -78

(1)

(X^{3} - 3 X^{2} + X - 3) = (X + 5) * (X^{2} - 8 X + 15) + (26 X - 78)

b = q_{2} * r_{1} + r_{2}

(X^{2} - 8 X + 15)

(26 X - 78) = \frac{1}{26} X - \frac{5}{26} +

Rest

0

(2)

(X^{2} - 8 X + 15) = (\frac{1}{26} X - \frac{5}{26}) * (26 X - 78) + 0

Also ist ggT

(X^{3} - 3 x^{2} + X - 3, X^{2} - 8 X + 15) = (26 X - 78)

Aha ok dieses Ideal wird nur von einem Element erzeugt, hab ich gezeigt mit meinem ggT...

Bin ich dann jetzt fertig? Oder soll ich noch was begründen oder so?

DrBoogie aktiv_icon

07:27 Uhr, 25.06.2015

Es reicht dann am Ende zu schreiben: damit

I = (26 X - 78)

, also ein Hauptideal.

She-Ra aktiv_icon

08:12 Uhr, 25.06.2015

Ok gut mach ich, danke :-)

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