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Identität Binomischer Lehrsatz

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomischer Lehrsatz, Indentität

Gast17 aktiv_icon

17:23 Uhr, 22.10.2016

Abend zusammen,

ich komme mal wieder nicht weiter bei einem Analysis Problem. Wir sollen folgende Identität beweisen.

\sum_{m = k}^{n} (\binom{m}{k}) (\binom{n}{m}) = (\binom{n}{k}) 2^{n - k}

Als zusätzlicher Tipp wurde uns gesagt wir sollten das Polynom

p (x) = (1 + (1 + x))^{n} = (2 + x)^{n}

betrachten und dann den Koeffizienten

x^{k}

aus dem binomischen Lehrsatz bestimmen.

Nun zu dem was ich bis jetzt gemacht habe:

(1 + (1 + x))^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 1^{n - k} (1 + x)^{k}

1^{n - k}

immer

1

ist, heisst es nun:

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (1 + x)^{k}

. Das

(1 + x)^{k}

ist wohl dann in diesem Fall der oben beschriebene Koeffizient

x^{k}

. Leider ist mir nun nicht ganz klar wie es weitergeht. Auch der Zusammenhang zwischen

x^{k}

und dem was es zu beweisen gilt ist mir noch nicht ganz klar...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

17:46 Uhr, 22.10.2016

Hallo,

du musst

(2 + x)^{n}

* einerseits direkt über den binomischen Lehrsatz umwandeln und
* andererseits über

(2 + x)^{n} = (1 + (1 + x))^{n}

wieder über den binomischen Lehrsatz umwandeln, wobei du in der Folge

(1 + x)^{k}

immer wieder umwandeln musst, so, wie du es auch schon beschrieben hast.

Dann folgt eine Menge aus meiner Sicht unangenehme Rechnerei mit Summen und Doppelsummen, mit anschließendem Koeffizientenvergleich.
Aus dem folgt dann die Behauptung.

Mfg Michael

Gast17 aktiv_icon

18:09 Uhr, 22.10.2016

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Deine Idee leutet mir soweit ein, aber ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher ob ich das richtig mache.

(2 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 2^{n - k} x^{k}

Weiter müsste man dann für

(1 + x)^{k}

sagen:

(1 + x)^{k} = \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) x^{j}

Diese Ergebnis müsste man dann in einsetzen und erhält:

(1 + (1 x))^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (1 + x)^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) x^{j} = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{j}) x^{j}

Daraus folgt dann:

(2 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) 2^{n - k} x^{k} = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{k}{j}) x^{j}

Stimmt das soweit oder bin ich da schon komplett auf dem Holzweg? Ich komme ehrlich gesagt auch nicht wirklich weiter, muss ich nun eine Indexverschiebung durchführen um die Doppelsumme loszuwerden? Und wenn ist mir ehrlich gesagt auch nicht ganz klar wie...

Ein kleiner Tipp so wie vorhin wäre genial!

michaL aktiv_icon

17:11 Uhr, 23.10.2016

Hallo,

sorry für meine späte Antwort, ich habe den Faden aus den Augen verloren.

> Stimmt das soweit

Ja, bis dahin korrekt.

> Ich komme ehrlich gesagt auch nicht wirklich weiter, muss ich nun eine Indexverschiebung durchführen um die
> Doppelsumme loszuwerden?

Eine Indexverschiebung ist aus meiner Sicht nicht notwendig (zumindest nicht vorerst).
Wären die oberen Enden deiner beiden Summen konstant, könntest du die Summationsreihenfolge vertauschen. Siehe dazu etwa [1] (unter 7. Beispiel). Das könnte zu derartigen Dingen führen wie

(\binom{k}{k + 1})

, was man aber als 0 definieren könnte (und meines Wissens auch ist).

Komplexer (vielleicht für dich aber sauberer) und letztlich absolut treffend ist es, bei dir auf der rechten Seite (der Seite mit der Doppelsumme) den Koeffizienten zu

x^{k}

herauszufinden. Schließlich gilt es den mit der linken Seite zu vergleichen.
Solltest du dich zu diesem Weg entschließen, kann ich dir nur raten, mal am Beispiel aufzuschreiben/aufzumalen, was da alles addiert werden soll. Dabei musst du von deinem Beispiel (das ich dir aufzuschreiben rate) abstrahieren zum allgemeinen Fall, der in der Gleichung steht, bis zu der du gekommen bist.

Melde dich, wenn du nicht voran kommst.

Mfg Michael

Weblinks:
[1] : www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html

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