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Identität durch Ableitung überprüfen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

anonymous

22:26 Uhr, 27.02.2014

Hallo,

Ich hätte da eine sehr allgemeine Frage.

Mir sind viele Aufgaben begegnet bei denen man eine Identität beweisen musste - also Gleichungen auf Richtigkeit zu überprüfen.

Oft wurde als Tipp gegeben man muss die Ableitung betrachten. Leider kann ich mir nicht so ganz vorstellen inwiefern das von statten gehen soll. Hat jemand evtl. Beispiele parat?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

10:39 Uhr, 28.02.2014

Oft geht es darum, eine formelmäßige Beschreibung einer Ableitung zu finden. Dabei wird die Kernfrage, ob die entsprechende Funktion differenzierbar ist, nicht beantwortet, die Differenzierbarkeit wird einfach mal vorausgesetzt.

Bsp: die Funktionen Ln und Exp als Umkehrfunktionen voneinander
Die Funktion Ln ist bei üblicher Definition nach dem Hauptsatz differenzierbar und wir setzen die Differenzierbarkeit der Funktion Exp einfach mal voraus. Dann gilt:

i d_{R} = L n \circ E x p

für alle

x \in R g i l t : i d_{R} (x) = (L n \circ E x p) (x) = L n (E x p (x))

und nach obiger Voraussetzung folgt dann nach der Kettenregel:

i d ´_{R} (x) = L n ´ (E x p (x)) \cdot E x p ´ (x)

1 = \frac{1}{E x p (x)} \cdot E x p ´ (x)

und damit

E x p ´ (x) = E x p (x)

Es ist damit klar, dass unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit die Funktion Exp mit ihrer Ableitung übereinstimmt
So kommt man schnell zum rechnerischen Üben der Ableitungstechniken, ohne die doch sehr interessante Frage nach der Differenzierbarkeit beantwortet zu haben.

aleph-math aktiv_icon

11:34 Uhr, 28.02.2014

Gu. Morgen!

"Mir sind viele Aufg. begegnet, wo man (...) Gleichg. prüfen muß..."

.. Dann wird's nicht schwierig sein, ein solches Beisp. vorzustellen, denn so ohne weiß ich nicht recht, was gemeint ist.

Ist überhpt. "Ableitung" bekannt? Das ist d. Steigung in jedem Pkt d. urspr. Gleichg. als Fkt. (also "f(x)=(li.Seite - re.Seite)" statt "li.S. = re.S."). Für lok. Min.& Max. setzt man d. Ableitg=0, aber f.d. urspr. Gleichg.?

Wie gesagt, mal ein Bsp. anschaun, dann seh'n wir weiter!

Jedenf. schönes WE!

**Edit: Sorry, ich hab d. Antw. zu einem Zeitpkt begonnen, an dem keine sonst. Antw. vorhanden war. Mittlerw. scheint d. Sache geklärt, wenn das d. Hintergr. d. Frage war. M. Beitrag ist damit weitg. obsolet, ein Orig.Bsp. würd mich trotzdem interess.. -GA

anonymous

12:09 Uhr, 28.02.2014

@aleph-math
Kein Problem. Ich hab mir das schon gedacht, dass meine Frage ein bisschen schwammig formuliert ist, aber ich wollte versuchen herauszufinden was die Grundidee bei so einem Verfahren ist ohne direkt meine Aufgabe angeben zu müssen.

Wir haben mal auf diese Weise die Eindeutigkeit der e-Funktion bewiesen. Leider habe ich keine Aufzeichnungen mehr darüber, aber das ging in etwa so:
Angn. es gäbe eine weitere Funktion

g (x)

für die gilt

g (x) = g' (x)

dann ist

\frac{g (x)}{e^{x}} = 1

|Ableiten

\frac{g' (x) \cdot e^{x} - g (x) \cdot e^{x}}{e^{x} \cdot e^{x}} = 0

\frac{g' (x) - g (x)}{e^{x}} = 0

Schon mal Sorry für diesen womöglich fehlerhaften und unvollständigen Ansatz. Falls da jemand weiß wie er richtig geht wäre ich sehr dankbar.

@irrsinn-07
Das ist ein schönes und interessantes Beispiel.

Hier meine eigentliche Aufgabe:

Zeige für welche

x \in ℝ

diese Beziehung gültig ist. (Als Hinweis: Betrachte die Ableitung)

arctan(x)

+

arctan

(\frac{1 - x}{1 + x}) = \frac{π}{4}

Deshalb auch meine ursprüngliche Frage, was hoffe ich mir zu erreichen? Ist der Ansatz wohl etwa einfach die Gleichung zu differenzieren?

pwmeyer aktiv_icon

18:08 Uhr, 28.02.2014

Hallo,

"Ist der Ansatz wohl etwa einfach die Gleichung zu differenzieren?"

Ja, man differenziert und findet

f' (x) = 0

für alle

x

und daraus folgt f(x)=const. Durch einsetzen eines Werts für

x

findet man die Konstante.

Gruß pwm

anonymous

22:40 Uhr, 28.02.2014

Ahja ok. Danke!

Also nach dem Differenzieren der Gleichung komm ich auf:

\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1} = 0

,was offensichtlich gilt

\forall x \in ℝ

\Rightarrow

Die Linke Seite der Gleichung muss vorher eine Konstante gewesen sein.

\frac{π}{4}

erhält man also für

x = 1

Eine letzte Frage dazu hätte ich trotzdem noch. Wenn die Lösung

x = 1

nicht sofort ersichtlich wäre, hätte man durch Umformen der Gleichung ja sicherlich auch

x = 1

erhalten. Hätte man so nicht auch die Richtigkeit der Gleichung für dieses

x

gezeigt?
Oder ist diese Methode einfach nur in manchen Fällen einfacher?

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