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Identität einer Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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21:40 Uhr, 24.01.2016

So, für diese Woche erstmal die letzte Frage :-D)

Bestimmen Sie die komplexen Zahlen

x \in ℂ,

für die die folgende Identität gilt:

\sum_{n = 1}^{\infty} = \frac{x^{2} + x}{{(1 - x)}^{3}}

und beweisen Sie sie.

Mein Ansatz ging erstmal über die geometrische Reihe und das Cauchy-Produkt. Habe es erstmal einfach für

\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}

versucht:

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} x^{k} x^{n - k} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} x^{n} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

= \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} (k + 1) x^{k} x^{n - k}

= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} (k + 1) x^{n}

= \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) (n + 2) x^{n}

= \sum_{n = 0}^{\infty} n^{2} x^{n} + 3 n x^{n} + 2 x^{n}

Das sieht ja schonmal vorne ganz gut aus. Aber wie verwurste ich jetzt noch das

x^{2} + x

aus der Aufgabenstellung so, dass die anderen 2 Terme wegfallen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:08 Uhr, 24.01.2016

Hallo
es fängt an mit einer leeren Summe = rationale Funktion?
was willst du zeigen?
Gruß ledum

Ingramosch aktiv_icon

23:17 Uhr, 24.01.2016

Ich würd gerne eine Seite irgendwie in die andere Umformen ;-) Leider ist für mich der Weg scheinbar nicht sehr offensichtlich

: (

ledum aktiv_icon

23:19 Uhr, 24.01.2016

Hallo sieh noch mal deinen ersten post an, da steht oben keine wirkliche linke Seite, also poste die richtige Aufgabe.
gruß ledum

Ingramosch aktiv_icon

23:20 Uhr, 24.01.2016

Oh :-D)

Die Gleichung soll heißen:

\sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} x^{n} = \frac{x^{2} + x}{{(1 - x)}^{3}}

ledum aktiv_icon

23:24 Uhr, 24.01.2016

Hallo
leite mal

\frac{1}{1 - x} 2

mal ab, ebenso die geometrische Reihe. dann multipliziere mit dem Zähler.
Gruß ledum

Ingramosch aktiv_icon

23:26 Uhr, 24.01.2016

Differentiation wird wohl erst in der nächsten Woche eingeführt - daher dürfen wir Ableitungen hier wohl noch nicht benutzen :-)

ledum aktiv_icon

00:05 Uhr, 25.01.2016

Hallo
dann mach weiter
die summe die du zeigen willst fängt bei 1 an also form um

k = n + 1,

dann mit

x^{2} + x

multiplizieren, wie der geschickt auf

x^{k}

index verschieben, die 2 Summen addieren ich glaub dann hast du es.
Gruss ledum

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