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Identitätsmatrix und lineare Abbildungen mit Basen

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Gruppen

Körper

Polynome

Tags: Gruppen, Körper, polynom

HokageAladin aktiv_icon

19:09 Uhr, 04.02.2024

(1

Wir betrachten die

F 2 -

lineare Abbildung

(2

f : F 2

\to F,2

th ("1+2)
sowie die Basen

B :=

(e1,ez) und

C :=

(eg

+

es,

e 1)

von

F 22

. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antwort!
1. Es gilt Mc,c (f)

= 12;

hierbei ist Iz die Einheitsmatrix in

M 2 x 2 (F 2)

.
2. Es gilt MB.c (f)

= 12

.
Seien

K

ein Körper,
seien

V, W

endlich-dimensionale K-Vektorräume, sei (vi)i€r eine Basis von

V

und sei

f : V

-›

W

eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie eine der beiden folgenden Aussagen:
1. Ist

f

injektiv, so ist

(f

(vi)) ier eine linear unabhängige Familie.
2. Ist

f

surjektiv, so ist (f(v))er ein Erzeugendensystem von W.
Bonusaufgabe. Beweisen Sie auch die andere Aussage.

Ich würde die Matrixdarstelleungen der linearen Abbildung

f

bezüglich der gegeben Basen

B

und

C

betrachten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

pwmeyer aktiv_icon

11:44 Uhr, 05.02.2024

Hallo,

wenn

M_{C, C} (f) = I

wäre, dann müsste gelten:

f (e_{1} + e_{2}) = 1 \cdot e_{1}

. Aber

f (e_{1} + e_{2}) = f (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Für die nächste Frage müsste man wissen, was

M_{B, C}

bedeutet: Gilt

B

für den Argument-Raum oder für den Bild-Raum?

Zur nächsten Frage: Prüfe, ob

{(f (v_{i}))}_{i \in I}

linear unabhängig ist. Dazu gelte mit Skalaren

s_{i} :

0 = \sum_{i \in I} s_{i} f (v_{i}) = f (\sum_{i \in I} s_{i} v_{i})

Andererseits ist imm

f (0) = 0

. Wegen der Injektivität folgt also

\sum_{i \in I} s_{i} v_{i} = 0

und daraus wegen der Unabhängigkeit der

v_{i} : s_{i} = 0

für alle

i

Gruß pwm

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