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Idiotentest
Universität / Fachhochschule
Tags: DGL
 
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anonymous 17:38 Uhr, 21.09.2006  |
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| Ich gebe dir 100 Euro und du sollst mir damit 100 Tiere kaufen.Drei Tiere stehen zur auswahl: ein Hund für 15 Euro, ein Huhn für 1 Euro und ein Kücken für 0,25 Euro.Du musst mindestens ein Tier von jeder Sorte kaufen.Das was zählt ist der Rechenweg | |
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nennen wir mal die anzahl der hunde x, die anzahl der hühner y und die anzahl der küken z dann muss die summe der tiere 100 ergeben also x+y+z=100 als nächstes kommt der preis ins spiel. daraus resultiert die gleichung 15x+y+1/4*z=100 das ist jetzt ein gleichungssystem mit zwei gleichungen und drei unbekannten, welches man ohne weiteres nicht lösen kann. man weiß aber dass x>0; y>0 und z>0 da man von jedem tier mindestens ein exemplar kaufen soll. außerdem sind für x y und z nur natürliche zahlen zulässig, da man keine 2,3 hunde oder -2 hühner kaufen kann. um es mathematisch nicht zu aufwendig zu machen würde ich vorschlagen es auf ein paar leicht abzuschätzende dinge beruhen zu lassen. als erstes lös ich die erste gleichung nach z auf und setz sie in die zweite gleichung ein. ich erhalte 14,75x+0,75y=75 das multipliziere ich noch mit 4 um ganzzahlige koeffizienten zu erhalten 59x+3y=300 hier kann man schon sagen dass x zwischen 1 und 5 liegen muss, weil wird x größer als 5 muss y negativ sein um die gleichung zu erfüllen dies lös ich nach y auf und erhalte y=100-59/3*x hieran kann man leicht erkennen, dass x 3 sein muss, damit y eine natürliche zahl ist daraus folgern dann die ergebnisse x=3 y=41 z=56 wenn du eine exakte mathematische lösung, ohne schätzung haben möchtest musst du unter diophantische gleichung nachschauen |
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Hallo, ich glaube, daß fermat mit Diophant hier mit Kanonen gegen Spatzen schießen würde. Es geht m.E. (allerdings mit vielem verbalen Drumrum) leichter so: Wegen der Voraussetzung, daß es genau 100 gekaufte Tiere sein müssen und von allen Sorten mindestens eines dabei sein muß, kann die Anzahl der Hunde nur eine Zahl von 1 bis 5 (beides einschließlich) sein. Die 1 ist vorgegeben! Für die Anzahl der Hunde (die Anzahl sei wie bei fermat x) kann man also folgende Ungleichung aufstellen und lösen: 15*x + 1 + 0,25*(100-x-1) <= 100 (x Hunde, mindestens ein Huhn, der Rest der Tiere zum niedrigst möglichen Preis, also zum Preis der Küken) 15*x + 1 + 25 - 0,25*x - 0,25 <= 100 14,75*x <= 74,25 x <= 5,0338983050847457627118644067797 Da x eine ganze Zahl ist, gilt also x<=5 Wenn man sich für eine Anzahl von Hunden entschieden hat, dann kann man von dem Restbetrag (ganze Euro) Hühner (für einen ganzen Euro) und Küken (für 1/4 Euro) kaufen. Man sieht sofort, daß nur eine durch 4 teilbare Anzahl von Küken gekauft werden kann, um genau auf den Betrag von 100 Euro zu kommen Angenommen man hat sich zunächst für eine beliebige Menge Hühner und Küken zu einem ganz bestimmten Preis (=Restbetrag nach Festlegung der Anzahl der Hunde=100-15*x) entschieden und will diese Mengen so ändern, daß der Preis gleich bleibt. Dann muß man für jedes Huhn mehr oder weniger 4 Küken weniger oder mehr nehmen. Die Anzahl der Tiere ändert sich somit immer um eine durch 3 teilbare Anzahl von Tieren. D.h. wenn ich für den Restbetrag (nachdem ich mich für eine bestimmte Anzahl Hunde) und 4 Küken entschieden habe (minimal 5 und maximal 9 Tiere, da die Hunde auf minimal 1 und maximal 5 beschränkt sind), dann kann ich noch eine ganz bestimmte Anzahl von Hühnern dazunehmen (minimal 24 und maximal 84, denn man muß maximal für 5 Hunde und 4 Küken 76 Euro und minimal für 1 Hund und 4 Küken 16 Euro ausgeben), um auf die 100 Euro zu kommen. Da komme ich aber insgesamt maximal auf 89 (=5+84, was größer ist als 33=9+24) Tiere, also muß ich ein Huhn nach dem anderen durch 4 Küken ersetzen um auf 100 zu kommen, die Anzahl der Hunde lassen wir mal gleich. Das geht aber wie oben gezeigt nur, wenn die Anzahl der fehlenden Tiere (bei gewähltem x) durch 3 teilbar ist, d.h. wenn 100-x-4-(100-15*x-1) durch 3 teilbar ist. Diese Gleichung berücksichtigt, daß man x Hunde und 4 Küken hat und vom gesamten Restbetrag (100-15*x-1) Hühner kauft. Fassen wir diese Gleichung mal etwas zusammen: 100-x-4-100+15*x+1 =14*x-3 Wenn das durch 3 teilbar sein soll, dann muß auch 14*x durch 3 teilbar sein und da die Primfaktorzerlegung von 14 (=2*7) keine 3 enthält, muß x diesen Faktor enthalten. Wenn man jetzt die Einschränkung für x berücksichtigt, nur Werte aus {1,2,3,4,5} annehmen zu können, muß x=3 sein! Wenn man dies in die beiden von fermat richtig aufgestellten Gleichungen einsetzt, ergeben sich die restlichen Werte als Lösung eines LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten. Man kann die restlichen Angaben aber auch anders gewinnen: 3 Hunde und 4 Küken kosten 46 Euro, man kann für 100 Euro noch 54 Hühner dazunehmen. Dann hat man 3+4+54=61 Tiere, es fehlen also noch 39 Tiere. Wie oft muß ich ein Huhn gegen 4 Küken tauschen, damit ich auf 100 Tiere komme? Genau: 39/3=13 mal. Ich habe dann 54-13=41 Hühner und 4+4*13=4+52=56 Küken. Rein mathematisch gelöst, ohne bei solchen Aufgabentypen hilfreichen Dingen wie Fallunterscheidung, Wertetabelle, ... und ohne Diophant. |
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ich hab das gar nicht über diophantische gleichungen gelöst ich sagte lediglich, dass wenn man eine strenge mathematische lösung, ohne argumentation, sondern durch reines umformen lösen will man unter diophantische gleichungen nachschauen solle. Gelöst habe ich es aber genauso wie du es jetzt erklärt hast. Ich schließe daraus, dass du womöglich nur den letzten satz meines beitrages gelesen und diesen auch noch missverstanden hast. und wertetabellen ist für mich keine mathematik sondern geht richtung physik zum beispiel wenn ich den differentialquotienten der wurzelfunktion aufstellen und sagen will wohin er im grenzfall für eine bestimmte stelle strebt, kann ich auch nicht durch eine wertetabelle auf den grenzwert schließen und wenn er noch so offensichtlich erscheint. in der schule mag man dies vielleicht so zu machen, aber strenge mathematik ist das nicht und diophantos bildet ein einfaches lösungsverfahren für gleichungen, bei denen nur ganzzahlige lösungen zulässig sind, wobei man dies noch für die natürlichen zahlen einschränken kann. an diophantos ist nichts schwer. bei komplizierteren zahlen und komplizierterer aufgabenstellung ist diophantos auch sogar einfacher als der lösungsweg über die argumentation |
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