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Imaginärteil einer komplexen Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Gleichungen, Imaginärteil, Komplexe Zahlen, Realteil Imaginärteil

Popel99 aktiv_icon

14:33 Uhr, 19.07.2019

Hallo zusammen,

Ich habe folgende Aufgabe vor der Brust:

Sei a element aus

(0,1)

gewählt. Bestimmen Sie alle Lösungen

z

aus den Komplexen Zahlen ohne 0der Gleichung:

a \cdot i +

Im(i/z)

= z

.

Mein größtes Problem dabei ist, ich weiß nicht genau was Im(i/z) sein soll...

Danke im Voraus,
Grüße Popel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Edddi aktiv_icon

14:42 Uhr, 19.07.2019

. .

. sei

z = a + b i

so ist Im

(\frac{i}{z}) =

(\frac{i}{a + b i}) =

(\frac{b + a i}{a^{2} + b^{2}}) = \frac{a}{a^{2} + b^{2}}

\frac{i}{a + b i} = \frac{i}{a + b i} \cdot \frac{a - b i}{a - b i} = \frac{b + a i}{a^{2} + b^{2}}

;-)

Popel99 aktiv_icon

14:52 Uhr, 19.07.2019

Okay , vielen Dank.

Dementsprechend ist dann

R e (\frac{i}{z}) = \frac{b}{a^{2} + b^{2}}

rundblick aktiv_icon

15:08 Uhr, 19.07.2019

.
"..vor der Brust:

Sei a element aus

(0,1)

gewählt.
Bestimmen Sie alle Lösungen

z

aus den Komplexen Zahlen ohne 0 der Gleichung: a⋅i+ Im(i/z) =z."

\to

kleine Frage: steht da irgendwo, dass a der Realteil von

z

sei ?

?

Popel99 aktiv_icon

15:10 Uhr, 19.07.2019

Nein , hat mich auch gewundert.

Man müsste dann z=x+y*i wählen zum Beispiel , oder ?

rundblick aktiv_icon

15:13 Uhr, 19.07.2019

.
"Mann müsste dann

z = x + y \cdot i

wählen, zum Beispiel ..?"

. .

\to

JA , zB.

- aber schau sicherheitshalber nochmal genau nach im kompletten Originaltext der Aufgabenstellung..

oder
verfolge einfach den Ansatz von Edddi weiter, dann wirst du vielleicht über ein sich aus seinem
Ansatz z=a+bi ergebendes Problemchen stolpern?.
.

Popel99 aktiv_icon

15:42 Uhr, 19.07.2019

Okay , damit habe ich jetzt versucht dei Gleichung zu lösen, bin mir da mit meinen ergebnissen aber wieder nicht ganz sicher.

Habe nach weiterem Rechnen irgendwann

\frac{x + i (a x^{2} + a y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = x + y i

Damit kann ich ja ein gleichungssystem aufstellen

I.)

\frac{x}{x^{2} + y^{2}} = x

und

II.)

\frac{a x^{2} + a y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = y

aus II.) kommt dann

a = y

raus und aus I.) kommt

x^{2} + y^{2} = 1

raus.

Erstmal, kann das jemand soweit bestätigen und wenn ja, wie lautet dann meine Lösung ? :-D)

HAL9000

15:56 Uhr, 19.07.2019

Bei letzterem kannst du ja das bereits bekannte

y = a

einsetzen und kommst so zu

x^{2} = 1 - a^{2}

mit dem beiden Lösungen

x = \pm \sqrt{1 - a^{2}}

.

Aber du hast etwas vergessen: Aus I.) folgt durchaus nicht unmittelbar

x^{2} + y^{2} = 1

, das setzt nämlich

x \neq 0

voraus. Der Fall

x = 0

ist auch noch zu betrachten und - welche Überraschung - der führt ebenfalls zu einer Lösung. :-)

rundblick aktiv_icon

15:56 Uhr, 19.07.2019

G

leichung:

\to a \cdot i +

(\frac{i}{z}) = z

"Habe nach weiterem Rechnen irgendwann" .. mich im komplexen Wald verirrt ? :-)

wenn

\to z = x + i y

ist

\to

was bekommst du dann für :

\to \frac{i}{z} = . .

?
und was dann für

\to

(\frac{i}{z}) = . .

?

schreib das mal auf, dann sehen wir vielleicht weiter ..

\to

Popel99 aktiv_icon

16:07 Uhr, 19.07.2019

Naja, habe wie Eddie oben schon schrieb, habe ich mit Im(

\frac{i}{z}) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

gerechnet.

rundblick aktiv_icon

16:22 Uhr, 19.07.2019

.
ja ..
und jetzt einfach nur einsetzen

\to

a \cdot i +

(\frac{i}{z}) = z \Rightarrow

a \cdot i + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} = x + i y

Vergleich

\to

Realteil

\to \frac{x}{x^{2} + y^{2}} = x

Imaginärteil

\to y = a

Realteil

\to

1 .)

...wenn

x \neq 0 \Rightarrow x^{2} = 1 - a^{2} . .

\Rightarrow x = ...

. ?
oder

2 .) . .

x = 0

mach jetzt noch den Schluss

. .

.
("Bestimmen Sie alle Lösungen

z

\to . .

.
.

Popel99 aktiv_icon

11:04 Uhr, 20.07.2019

Okay , das hatte ich soweit ja eigentlich auch, hab nur nicht gesehen das Real- und Imaginärteil schon soweit da stehen und alles auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.

Als Ergbnisse hätte ich dann jetzt

z = \pm \sqrt{(1 - a^{2})} + a * i

, wenn

x \neq 0

und für

x = 0

z = a * i

rundblick aktiv_icon

13:40 Uhr, 20.07.2019

.

"Als Ergbnisse hätte ich dann jetzt ..."

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. perfekt !

kannst du auch noch sagen, wo in der GaussEbene alle diese Lösungspunkte

z

liegen ?
(Ortskurve ?)

\to .

.
.

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