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Imaginärteil/Realteil einer Übertragungsfunktion

Schüler

Tags: arctan, imaginär, Komplexe Zahlen, Reelle Zahlen

NE555 aktiv_icon

19:28 Uhr, 15.02.2011

Hallo!

Ich suche nach einer schnellen Hilfe bei einem etwas physikalischen Problem. Mein Lösungsansatz sollte richtig sein, aber ich kann wieder einmal nicht gut genug umformen, so scheint es mir zumindest.

Ich soll eine Übertragungsfunktion eines (RC-Bandpasses) in zwei Hälften teilen: Einmal in den Amplitudengang, das ist der Betrag dieser Funktion, und zweitens der Phasengang, also der Winkel der komplexen Zahl, wenn man sie in Polarkoordinaten darstellt.

Die Formel lautet:

H = \frac{1}{3 + j (ω R C - \frac{1}{ω R C})}

, mit

j = i = \sqrt{- 1}

Diese kann man weiter umformen, sodass man auf die Form

a + j b

kommt:

H = \frac{1}{3} - j \frac{1}{ω R C - \frac{1}{ω R C}}

Und um dann auf den Winkel zu kommen, schreibt man:

φ = \arctan \frac{- \frac{1}{ω R C - \frac{1}{ω R C}}}{\frac{1}{3}} = \arctan \frac{3 ω R C}{1 - (ω R C)^{2}}

Es sollte aber das heraus kommen:

φ = \arctan \frac{1 - (ω R C)^{2}}{3 ω R C}

Was mache ich falsch?!

LG
nico

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sams83 aktiv_icon

20:14 Uhr, 15.02.2011

Hallo,

die erste Umformung ist falsch. Du kannst doch nicht einfach den Nenner auseinanderziehen!

Ein

j

im Nenner entfernst Du, indem Du den Bruch so erweiterst, dass die dritte binomische Formel im Nenner anwendbar ist.

Also in dem Fall mit 3 -j(wRC-1/(wRC)) erweitern.

Dann weiter umformen und Du kommst auf:

H =

3/(9+wRC-1/(wRC)) - j(wRC-1/(wRC))/(9+wRC-1/(wRC))

Klappt's?

NE555 aktiv_icon

20:39 Uhr, 15.02.2011

Dankeschön! Und ja ich war blöd...tztztz

Leider noch nicht ganz! Ich komme nicht auf deine Form! Ich komme im Moment auf:

H = \frac{3}{9 - (Ω - \frac{1}{Ω})^{2}} - \frac{j (Ω - \frac{1}{Ω})}{9 - (Ω - \frac{1}{Ω})^{2}}

Im Anhang ist ein Foto, ich habe

ω R C

durch

Ω

ersetzt (der Einfachheit halber).

LG
nico

Sams83 aktiv_icon

23:09 Uhr, 15.02.2011

Oh, entschuldigung. Ja klar, die Quadrate müssen im Nenner vorhanden sein.

Du hast allerdings da noch einen Vorzeichenfehler:
(3-j*(wRC-1/(wRC)))*(3+j*(wRC-1/(wRC)))

= 9 -

j²*(wRC-1/(wRC))²

= 9 +

(wRC-1/(wRC))²

So müsste der Nenner stimmen.

NE555 aktiv_icon

09:26 Uhr, 16.02.2011

Leider schaffe ich es immer noch nicht. Bei mir kommt jetzt raus:

\frac{- (Ω - \frac{1}{Ω})}{3}

Kann man das etwa noch umformen? Wahrscheinlich ist schon wieder etwas falsch. Meine Rechenschritte sind auf den Fotos.

LG
nico

NE555 aktiv_icon

14:18 Uhr, 16.02.2011

War gestern wohl schon zu müde um zu sehen, dass das das gleiche ist. Frage somit beantwortet.

Danke!

LG
nico

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