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Immersion, Mannigfaltigkeit

Universität / Fachhochschule

Differentialgeometrie

Tags: Differentialgeometrie

Didgeridoo aktiv_icon

11:47 Uhr, 20.07.2012

Ich habe folgende Funktion gegeben

K : ℝ \to ℝ^{2} / ℤ^{2}

, s.d.

K (t) = (t, α t)

. Nun soll ich zeigen, dass K eine Immersion ist für jedes

α

, d.h. ich muss ja zeigen, dass K eine

C^{\infty}

Funktion ist, s.d.

D K_{a}

injektiv ist, für jedes a in

ℝ

. D.h. ich muss zuallererst einen "coordinate chart" für

ℝ

und

ℝ^{2} / ℤ^{2}

finden. Ersteres ist einfach, das ist doch einfach

(ℝ, i d)

, doch beim zweiten bin ich mir nicht wirklich sicher. Wie finde ich einen coordinate chart für

ℝ^{2} / ℤ^{2}

? (0,1)x(0,1) wäre doch möglich, aber wie lautet dann die Abbildung? Dann muss ich bloss zeigen, dass

φ \circ K

glatt ist, was ja dann sehr einfach ist. Und als letzter Schritt wäre noch zu zeigen, dass

D K_{a}

injektiv ist ist für jedes a. Wie kann ich

D K_{a}

aufstellen?

Vielen Dank für eure Hilfe und entschuldigung, dass ich so viel frage. Ich versuche dann während dem Semester auch wieder im Schülerforum etwas nachzuhelfen.

hagman aktiv_icon

21:02 Uhr, 20.07.2012

Eine einzige Karte reicht für den Torus

T = ℝ^{2} / ℤ^{2}

nicht aus. Aber zu

(a, b) + ℤ^{2}

kann man die Projektion

ℝ^{2} \to T

auf

(a - \frac{1}{2}, a + \frac{1}{2}) \times (b - \frac{1}{2}, b + \frac{1}{2})

einschränken und erhält so eine Karte um den gegebenen Punkt herum

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