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Implizite Folge in eine explizite Folge umwandeln

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

mabelle aktiv_icon

20:14 Uhr, 28.01.2022

Hallo zusammen,

ich muss eine implizite Folge in eine explizite umwandeln.

a_{0} = 1

a_{n + 1} = a_{n} + 4 n

− 2

Ich habe zuerst ein paar Folgenglieder aufgeschrieben.

a_{1} = 1 + 4 \cdot 1 - 2 = 3

a_{2} = 3 + 4 \cdot 2 - 2 = 9

a_{3} = 9 + 4 \cdot 3 - 2 = 19

a_{4} = 19 + 4 \cdot 4 - 2 = 33

Ich erkenne aber keine struktur der Folge, was hab ich falsch gemacht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

20:31 Uhr, 28.01.2022

.
"Ich erkenne aber keine struktur der Folge, was hab ich

f a l s c h

gemacht?"

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{...} ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

↑

a_{0} = 1

a_{n + 1} = a_{n} + 4 n

− 2

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

\to a_{1}

bekommst du, wenn du für

n = 0

einsetzt

\to

a_{0 + 1} = a_{0} + 4 \cdot 0

−

2 =

\to a_{1} = 1 + 0

−

2 =

??!

usw...
.

N8eule

20:35 Uhr, 28.01.2022

guter Start - und nur keine Entmutigung, du hast gar nichts falsch gemacht.
Manchmal hilft

z . B

. mal den Funktionsverlauf in einem Diagramm-Plotter darzustellen -
und einfach mal Phantasie und Vermutung walten zu lassen.

pivot aktiv_icon

20:38 Uhr, 28.01.2022

Hallo,

vielleicht erkennst du besser eine Struktur, wenn du mit

a_{n + 1}

an fängst und dann sukzessiv den Index um 1 erhöhst. Dabei die Folge nur von

a_{n}

abhängig machen.

a_{n + 1} = a_{n} + 4 n - 2

a_{n + 2} = a_{n + 1} + 4 n - 2

a_{n + 2} = a_{n} + 4 n - 2 + 4 n - 2

a_{n + 2} = a_{n} + 2 \cdot 4 n - 2 \cdot 2

usw.

Jetzt könnte schon eine Struktur erkennbar sein.

Gruß
pivot

michaL aktiv_icon

20:44 Uhr, 28.01.2022

Hallo,

hier gibt es zwei Zugänge:

1. Erfahrung
Solche Summen von

n

-Werten resultiert üblicherweise in einem quadratischen Polynom in

n

. Bekanntestes Beispiel ist die gaußsche Summenformel

\sum_{k = 0}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}

Also könnte man aus den ersten drei Werten ein lineares Gleichungssystem für ein quadratisches Polynom errechnen:

f (x) := a x^{2} + b x + c

mit

f (0) = 1

f (1) = 3

f (2) = 9

Liefert:

f (x) = 2 x^{2} + 1

, also

a = 2

b = 0

c = 1

Die Gültigkeit von

a_{n} = f (n)

wäre dann z.b. per vollständiger Induktion zu beweisen.

2. Rückführung auf bekannte Summenformeln
Daran bastele ich noch.

Mfg Michael

mabelle aktiv_icon

20:47 Uhr, 28.01.2022

Ich hab's

+ 4

?

arithmetische Folge

d . h

. in die Formel

a_{n} = a_{0} + d \cdot n = 1 + 4 \cdot n

einsetzen
ist das die korrekte explizite folge?

rundblick aktiv_icon

20:54 Uhr, 28.01.2022

\to

siehe oben

!! . .

↑

mabelle aktiv_icon

20:57 Uhr, 28.01.2022

sorry, hatte die nachricht schon vor den antworten getippt.
rechne es nochmal nach

michaL aktiv_icon

21:51 Uhr, 28.01.2022

Hallo,

unter Korrektur der (von mir vorher nicht nachgerechneten) ersten drei Folgeglieder kommt man nun auf

a_{n} = 2 (n - 1)^{2} - 1

.

Zur 2. Variante:
Gut bekannt ist folgende Folge:

b_{0} = 0

b_{n + 1} = b_{n} + 2 n + 1

Leicht zu erkennen ist, dass

b_{n} = n^{2}

gilt.
Die Differenz

b_{n + 1} - b_{n}

beträgt

2 n + 1

, also der Reihe nach die ungeraden Zahlen.

Es ist also

b_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} 2 k + 1

.

Die dir gegebene Folge ist dieser oben recht ähnlich, vor allem, wenn man das Ergebnis von der ersten Variante her kennt:

a_{n + 1} - a_{n} = 4 n - 2 = 2 (2 n - 1)

Es werden also gerade immer die Doppelten der ungeraden Zahlen addiert. (Indexverschiebung ist auch mit eingebastelt!)

Es gilt offenbar

a_{n} = 1 + 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + \dots + 2 \cdot (2 n - 1)

= - 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + \dots + 2 \cdot (2 n - 1)

(zumindest für

n \geq 2

)

Wäre

a_{n}

um 1 größer, so wäre der Zuwachs gerade immer doppelt so groß wie bei

b_{n - 1}

(beachte den verschobenen Index!).

Die Folge

(a_{n} + 1)_{n \in ℕ}

wäre demnach also gerade

2 (n - 1)^{2}

.
Damit ergibt sich für

a_{n}

erneut:

a_{n} = 2 (n - 1)^{2} - 1

Mfg Michael

mabelle aktiv_icon

22:09 Uhr, 28.01.2022

Ersteinmal vielen Dank für die ausführlichen antworten. Leider verstehe ich es immer noch nicht gibt mir bisschen Zeit. Bin etwas von @michaL verwirrt, versteh mich nicht falsch es liegt an mir...

rundblick aktiv_icon

22:14 Uhr, 28.01.2022

.

ergänzende Bemerkungen:

wenn du die zweite Differenzfolge
(mit deinen nun sicher richtigen Folgengliedern

1, - 1,1,7,17,31, ...)

ermittelst, wirst du sehen, dass es sich bei dieser

z w e i t e n

Differenzfolge um eine konstante Folge handelt.

das bedeutet, dass deine gegebene Folge eine arithmetische Folge

z w e i t e r

Ordnung ist...

[

Wiki: "Arithmetische Folgen höherer Ordnung :
Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms."

]

. .

. deren Glieder also diese Gleichung

z w e i t e n

Gradess erfüllen

\to

a_{n} = f (n) = a \cdot n^{2} + b \cdot n + c

und mit den ersten drei Werten deiner Zahlenfolge kannst du

a, b, c

berechnen aus dem System

f (0) = 1 \to ... ... ... ... ... ... ... . .

c = 1

f (1) = - 1 \to ... ... ... .

a + b + c = - 1

f (2) = 1 \to ... ... ... .

4 a + 2 b + c = 1

\Rightarrow a = 2; b = - 4; c = 1 ... ... ... ... .

\Rightarrow a_{n} = 2 n^{2} - 4 n + 1

ok?

N8eule

22:18 Uhr, 28.01.2022

Hallo
Das könnte aber auch an der von MichaL tatsächlich ein wenig verwirrenden n-Politik liegen.
@mabelle, am besten, du nutzt die Variable

n

in ihrer ursprünglichen Bedeutung.

@MichaL:

n

ist nicht gleich

(n - 1)!

Wenn du schon eine Indexverschiebung nutzt, dann bitte auch andere Größen mit anderen Bezeichnern kenntlich machen...

michaL aktiv_icon

22:38 Uhr, 28.01.2022

Hallo,

nun, ich gebe zu, dass ich meinen letzten Beitrag auch selbst nicht so gut verständlich finde.

Ist denn der erste Ansatz klar?
(Summe von im Wesentlichen

n

-Werten (oder Vielfachen davon) sollte ein quadratisches Polynom für

a_{n}

ergeben; Ansatz machen; Koeffizienten durch LGS bestimmen; Gültigkeit der Formel insgesamt durch vollständige Induktion beweisen)

Der zweite Weg führt letztlich auf eine bekannte Folge zurück.
Die Folge

(b_{n})_{n \in ℕ}

sei definiert durch:

b_{0} = 0

b_{n + 1} = b_{n} + 2 n + 1

Wenn du die nicht kennst, kannst du hier aufhören, weiterzulesen.

Wenn doch, dann weißt du vielleicht, dass für diese Folge gilt:

b_{n} = n^{2}

. (Entweder Beweis durch vollständige Induktion oder nachlesen in [1]).

Wegen

b_{n + 1} - b_{n} = 2 n + 1

ist so ein

b_{n}

also die Summe ungerader Zahlen. (Vgl. Bild etwa in [1]):

b_{n} = 1 + 3 + \dots + 2 n - 1

Bei deiner Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

ist es so ähnlich. Aufgrund der Rekursionsgleichung gilt

a_{n + 1} - a_{n} = 4 n - 2 = 2 (2 n - 1)

.

Es werden also gerade immer die Doppelten der ungeraden Zahlen zum Startwert 1 dazugezählt.
Wegen des Minuszeichens in

2 (2 n - 1)

beginnt die Rechnung auch erst ab

n = 1

, statt ab

n = 0

.
Um dir durch Zahlen zu verdeutlichen, was ich meine, vergleichen wir noch einmal die Folgeglieder und deren Differenzen:
Bei

(b_{n})_{n \in ℕ}

0 \overset{+ 1}{\to} 1 \overset{+ 3}{\to} 4 \overset{+ 5}{\to} 9 \overset{+ 7}{\to} \dots

Bei

(a_{n})_{n \in ℕ}

- 1 \overset{+ 2 \cdot 1}{\to} 1 \overset{+ 2 \cdot 3}{\to} 7 \overset{+ 2 \cdot 5}{\to} 17 \overset{+ 2 \cdot 7}{\to} \dots

(Beachte, dass ich bei

(a_{n})_{n \in ℕ}

NICHT bei Index Null angefangen habe, sondern bei 1!)

Wäre dein

a_{n}

anfangs einer mehr, d.h. gälte

a_{1} = 0

(statt -1), so hätten wir den gleichen Startwert wie bei

b_{0}

und immer die Doppelte Zunahme wie bei

(b_{n})_{n \in ℕ}

. Da auch

b_{0} = 0 = 2 \cdot 0 = 2 \cdot a_{1}

gilt, wäre dann

a_{n} = 2 b_{n - 1} = 2 (n - 1)^{2}

.

Und dieses "hätte", "wäre" heißt aber in Mathematik:

1 + a_{n} = 2 b_{n - 1} = 2 (n - 1)^{2}

, also

a_{n} = 2 (n - 1)^{2} - 1

.

Mfg Michael

Links:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Quadratzahl

rundblick aktiv_icon

22:40 Uhr, 28.01.2022

.

@N8eule:
da du bisher keinen erfolgreichen Beitrag leisten konntest ("du hast gar nichts falsch gemacht")
ist auch dein neuer Beitrag verzichtbar. Michael hat deine Belehrungen gewiss nicht nötig.

.

DrBoogie aktiv_icon

08:38 Uhr, 29.01.2022

Interessanterweise gibt's eine Theorie solcher Gleichungen:
de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung

Nach dieser Theorie löst man zuerst die homogene Gleichung

a_{n + 1} = a_{n}

, die Lösung ist

a_{n} = C

(Konstante)
und dann sucht man eine partikuläre Lösung von

a_{n + 1} = a_{n} + 4 n - 2

mit einem passenden Ansatz.
Laut Wiki wäre zuerst der Ansatz

a_{n} = a n + b

mit irgendeinen

a, b

, aber das geht nicht auf. Weiter soll man mit

a n^{2} + b n + d

probieren, und das funktioniert:

a (n + 1)^{2} + b (n + 1) + d = a n^{2} + b n + d + 4 n - 2

2 a n + a + b = 4 n - 2

a = 2, b = - 4

und

d

beliebig, also z.B.

0

. Damit haben eine partikuläre Lösung

a_{n} = 2 n^{2} - 4 n

.
Die allgemeine Lösung ist dann die Summe der beiden, also

a_{n} = 2 n^{2} - 4 n + C

. Und aus der Bedingung

a_{0} = 1

kommt

C = 1

. Also,

a_{n} = 2 n^{2} - 4 n + 1

ist die Lösung.

mabelle aktiv_icon

22:52 Uhr, 29.01.2022

Danke an alle habe es teilweise verstanden aber da muss ich wohl noch ein paar übungen machen..

mabelle aktiv_icon

22:52 Uhr, 29.01.2022

Danke an alle habe es teilweise verstanden aber da muss ich wohl noch ein paar übungen machen..

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