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Implizite Funktionen, lokale Auflösbarkeit, Taylor

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: implizite Funktion, lokale Auflösbarkeit, Taylor Approximation

TonyM

17:23 Uhr, 20.09.2014

Hallo,

die Aufgabenstellung liegt als Bild bei.
Bei den Aufgabenteilen a) und b i) habe ich keine Probleme.

Bei Teil b ii) verstehe ich nicht, was ich genau machen soll:
Ich denke die Aufgabe zielt darauf ab, dass ich durch das Aufstellen von impliziten Funktionen für x und y jeweils das Taylorpolynom aufstellen kann, ohne die impliziten Funktionen selbst bestimmen zu müssen. Es reicht dafür ja die Ableitungen zu kennen.

Was mich nun irritiert ist, dass der Entwicklungspunkt nur v und w beinhaltet.
Wenn ich nun eine implizite Funktion für x aufstelle, hängt diese doch von v, w und y ab. Eine implizite Funktion für y ist wiederum von v, w, und x abhängig. Das Taylorpolynom soll aber nur von v und w abhängig sein?

Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben.

Danke und Grüße
Tony

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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00:15 Uhr, 21.09.2014

Nö der Satz über implizit definierte Funktionen liefert dir hier schon Funktionen die von

ℝ^{2} \to ℝ

abbilden.

TonyM

13:24 Uhr, 21.09.2014

Wie würde denn dann z.B. die implizite Funktion für y aussehen?
Ich dachte es wäre dann ein

φ (v, w, x)

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14:24 Uhr, 21.09.2014

Wie schon gesagt: Die Auflösungsfunktionen hängen natürlich allesamt nicht von Variablen ab nach denen aufgelöst wird. Lies dir den Satz über implizit definierte Funktionen in Ruhe durch.

TonyM

16:10 Uhr, 21.09.2014

Okay, ich glaube ich habe es verstanden. Ist mein Rechenweg so richtig?

b i)

Punkt

\vec{a} = (\begin{array}{rcl} v_{0} \\ w_{0} \\ x_{0} \\ y_{0} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ \frac{1}{2} \end{array}), n = 4, m = 2

Bedingung:

\vec{F} (\vec{a}) = \vec{0}

und

R a n g (\vec{F} ´ (\vec{a})) = m

Diese Bedingungen sind erfüllt. Das Gleichungssystem ist also im Punkt a lokal nach x und y auflösbar. Es existiert also ein

\vec{Φ} (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ \frac{1}{2} \end{array})

b ii)

Das Taylorpolynom lautet:

T_{1} ((\begin{array}{rcl} v \\ w \end{array}), (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array})) = \vec{Φ} (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}) + \vec{Φ} ´ (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{rcl} v - 1 \\ w - 2 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 3 v - \frac{7}{4} w + \frac{11}{2} \\ - \frac{7}{2} v - \frac{15}{8} w + \frac{31}{4} \end{array})

mit

\vec{Φ} ´ = - {(\begin{array}{rcl} F_{1 x} & F_{1 y} \\ F_{2 x} & F_{2 y} \end{array})}^{- 1} (\begin{array}{rcl} F_{1 v} & F_{1 w} \\ F_{2 v} & F_{2 w} \end{array}), \vec{Φ} ´ (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 3 & - \frac{7}{4} \\ - \frac{7}{2} & - \frac{15}{8} \end{array})

Ist das so korrekt?

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23:17 Uhr, 23.09.2014

Das Vorgehen sieht richtig aus, habe aber die Formel und die Rechnungen jetzt nicht überprüft.

TonyM

09:42 Uhr, 24.09.2014

Alles klar, die Ergebnisse kann ich mit Wolfram Mathematica überprüfen, ging mir nur um den richtigen Rechenweg.
Danke!

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