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Impliziter Euler: Rechenvorschrift aufstellen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Gewöhnliche Differentialgleichungen

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12:08 Uhr, 20.11.2022

Hi Leute,

beim expliziten Eulerverfahren (Vorwärtsdifferenz) ist ja bereits der Funktionswert

y^{k + 1}

in der Gleichung gegeben:

\frac{d y}{d t}

≈

\frac{y^{k + 1} - y^{k}}{Δ t}

Somit braucht man ja dann nur umstellen.

Beim impliziten Euler (Rückwärtsdifferenz) steht dieser Funktionswert ja nicht direkt drinnen:

\frac{d y}{d t}

≈

\frac{y^{k} - y^{k - 1}}{Δ t}

Betrachten wir nun beispielshaft das Anfangswertproblem

\frac{d y}{d t} = - 5 y

y (0) = y^{0} = 1

Für den expliziten Euler ist das recht einfach:

\frac{d y}{d t}

≈

\frac{y^{k + 1} - y^{k}}{Δ t} = - 5 y^{k}

umstellen liefert dann:

y^{k + 1} = y^{k} (1 - 5 Δ t)

Wie sieht das ganze jedoch für den impliziten Fall aus? In aufstellbaren Gleichung ist leider kein

y^{k + 1}

enthalten, wie kommt man nun darauf?

\frac{d y}{d t}

≈

\frac{y^{k} - y^{k - 1}}{Δ t} = - 5 y^{k}

Wie kommt man nun auf die Rechenvorschrift für

y^{k + 1} = ... .

?

Viele Grüße und Dank vorab!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)