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Implizites Differenzieren

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableiten, Differenzieren, Impliziertes Differenzieren

Alex55 aktiv_icon

21:58 Uhr, 20.06.2016

Hallo, ich möchte eine Aufgabe aus meinem Übungsbuch lösen, allerdings verstehe ich den Lösungsweg dort nicht.

\to

Für die Kurve x²+y²=5 soll man die Steigung und Tangente im Punkt

(x 0, y 0) = (1,2)

bestimmen.
Als Hinweis wird angegeben, dass man zur Lösung nicht nach

y

auflösen muss, wenn man die Steigung und Tangente ermitteln möchte in diesem Fall.

Man soll zunächst beide Seiten mit der Kettenregel differenzieren.
Daraus folgt 2x+2yy'=0

- \to y' = - \frac{x}{y}

für

y

ungleich 0.
Somit ist in Punt

(1,2)

für

y' (1) = - \frac{1}{2}

.

Die Kettenregel, die ich aus der Schule kenne ist wie folgt:

F (x) = f' \cdot [g (x)] \cdot g (x)'

Aber ich bin hier ratlos, was im Buch steht. Die Tangente lassen wir erst mal im Schatten stehen. Die Ermittlung der Steigung ist mir primär erst mal wichtiger.
Warum benutzt er hier überhaupt die Kettenregel??

Achja, wenn ich die Funktion bei Wolfram eingebe kommt sowas raus als Ergebnis für eine implizte Ableitung:

\frac{d x (y)}{d y} = - \frac{y}{x}

und

\frac{d y (x)}{d x} = - \frac{x}{y}

Hatte lange kein Mathe und muss mich in Zukunft wieder damit beschäftigen. Ich werde versuchen jeden Tag zu üben und da wo ich blind bin um Hilfe bitten im Forum. Zum Glückgibt es euch. Vielen Dank schn mal für euere Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

22:16 Uhr, 20.06.2016

Vielleicht wird es klarer, wenn du dir vergegenwärtigst, dass

y

eine Funktion von

x

ist.
Schreibe statt

y

den Term

y (x)

x^{2} + {[y (x)]}^{2} = r^{2}

[x^{2}]' = 2 \cdot x

Für die Ableitung von

{[y (x)]}^{2}

wird die Kettenregel angewendet ( äußere Ableitung mal innere Ableitung ).

[{[y (x)]}^{2}]' = 2 \cdot y (x) \cdot y' (x)

Alex55 aktiv_icon

22:40 Uhr, 20.06.2016

Leider nur ein wenig

-Was bedeutet das r²?
-Woher weiß ich, dass

y

eine Funktion von

x

ist?
-Wo man die Kettenregel anwendet, kann man auch die Produktregel nehmen?

Und Kettenregel ist doch vom Grundaufbau her

f' \cdot [g (x)] \cdot g'

Hätte da jetzt 2y*y²*y gemacht...anscheinend falsch, aber bin ratlos.

Und dann gehts ja noch weiter in meinem Buch, wo er das zu

y' = - \frac{x}{y}

umformt. Den Weg dahin verstehe ich leider auch nicht.

ledum aktiv_icon

22:46 Uhr, 20.06.2016

Hallo
das

r^{2}

stand da allgemein statt der 5.
wenn du die Gl. nach

y

auflöst hast du doch auch

y = f (x)

also steht da

x^{2} + {(f (x))}^{2} = 5

das Quadrat ist die äussere Funktion , das

f

die innere.
Gruss ledum

Alex55 aktiv_icon

22:47 Uhr, 20.06.2016

Den Weg zu

y' = - \frac{x}{y}

habe ich rausgefunden.

Bleiben nur noch meine restlichen Fragen offen. Merke gerade, muss sehr sehr viel nachholen... :-D)

Alex55 aktiv_icon

22:59 Uhr, 20.06.2016

Wir sind hier ja beim impliziten Ableiten.Ist das dann immer so, dass

y = f (x)

ist? Geht das auch anders herum, dass

x

eine Funktion von

y

ist? Oder macht das keinen Sinn?
Sprich, kann ich mir aussuchen welchen Term ich implizit ableiten möchte, wenn ich x²+y²=5 gegeben habe?

Der Rest ist mir alles klarer geworden.

anonymous

23:09 Uhr, 20.06.2016

Du kannst dir theoretisch auch

f (y) = x

definierten, macht aber keiner, Konvention ist

f (x) = y

Alex55 aktiv_icon

23:11 Uhr, 20.06.2016

Ok, Danke dir!
Euch noch einen schönen Abend!

Alex55 aktiv_icon

23:29 Uhr, 20.06.2016

Ich habe noch eine kleine Frage. Hab noch mal alles nachgerechnet.

Ausgehend von der Kettenregel

f' (x) = g' \cdot h (x) \cdot h' (x)

ist ja g=y² und

g' = 2 y

sowie

h = y

und

h' = 1

Also

2 y \cdot y \cdot 1

Warum soll dann 2yy' rauskommen? Das

y'

verwirrt mich.

Respon

23:40 Uhr, 20.06.2016

f' (x) = g' \cdot h (x) \cdot h' (x)

???
Vermutlich meinst du etwas anderes.
Sei

f

eine zusammengesetzte Funktion, also eine "Funktion einer Funktion".

f (x) = g (h (x))

\Rightarrow

f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)

Alex55 aktiv_icon

23:49 Uhr, 20.06.2016

Das meine ich doch. Da fehlt bei mir nur die eine Klammer, aber macht das einen Unterschied?
Jedenfalls weiß ich nicht, warum da

y'

beim Ergebnis 2yy' rauskommt.

Respon

23:53 Uhr, 20.06.2016

Die Klammer ist hier wichtiger Bestandtel,

f' \cdot g (x)

ergibt mathematisch keinen Sinn

f (x)

und

y

sind nur zwei verschiedene Schreibweisen.
Wir leiten NACH

x

ab.
Die Ableitung von

f (x)

ist

f' (x)

Die Ableitung von

y

ist

y'

Alex55 aktiv_icon

00:04 Uhr, 21.06.2016

Ich bin schon fast am aufgeben oder ich bin einfach zu schlecht...

Sehe da keinen Unterschied zur Klammer.
Und selbst wenn ich einen sehen würde, dann wäre es doch immer noch nach Ableitung mit
der Kettenregel

2 y \cdot y \cdot 0

und kein

2 y \cdot y'

Respon

00:07 Uhr, 21.06.2016

Die Ableitung von

y

ist

y'

.
Die fehlende Klammer würde einen nicht definierten Term erzeugen.
Dein obiges Beispiel wird bei "Wiki" sehr schön erklärt.
de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation#Beispiel_2

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