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Startseite » Forum » In einer Reihe stehen n Stuehle... BITTE DRINGEND LOESEN!!!
In einer Reihe stehen n Stuehle... BITTE DRINGEND LOESEN!!!
Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 20:11 Uhr, 26.02.2004  |
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In einer Reihe stehen n Stühle. Auf jedem Stuhl sitzt eine Person. Bei einer Umsetzaktion darf jeder entweder sitzen bleiben oder sich auf einen Nachbarstuhl setzen. Wie viele verschiedene Sitzordnungen sind nach einer solchen Umsetzaktion möglich: - für eine beliebige Anzahl n von Stühlen. Biite helft mir weil ich an dieser Stelle nicht mehr weiter komme... Im Voraus schon mal vielen Dank! |
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anonymous 20:49 Uhr, 26.02.2004 |
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anhand eines Versuchs: 1 Stuhl: 1 Möglichkeit 2 Stühle: 2 Möglichkeiten 3 Stühle: 6 Möglichkeiten, nämlich: 123 132 213 231 312 321 usw. Wie man anhand der Beispiele sehen wird, sind die Anzahl Möglichkeiten einfach die Fakultät der Stuhlzahl. 1! = 1 2! = 2 3! = 6 usw. Für n Stühle würde dies somit bedeuten: n! Möglichkeiten Dies ist so, weil alle Möglichen Sitzpositionen ohne Einschränkung möglich sind (später wirds wohl mal heissen: wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn keiner an seinem ursprünglichen Platz sitzen bleibt usw......). |
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anonymous 20:50 Uhr, 26.02.2004 |
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| oh verdammter Scheiss jetzt habe ich die Aufgabe falsch gelesen, ich Idiot!! | |
anonymous 22:44 Uhr, 26.02.2004 |
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Okay, hier mal ein Versuch: Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, kann es beim Umsetzen passieren, dass mehrere Menschenpaare ihre Plätze tauschen. Es kann nicht sein, dass einige einen Platz weiter rücken, da dann immer jemand aufstehen und sich einen Platz suchen müsste, der kein Nachbarplatz ist. Jetzt gibt es folgende Möglichkeiten: -niemand tauscht seinen Platz: dann gibt es nur eine Möglichkeit (klar *g*) -ein Paar tauscht seinen Platz: hier gibt es n-1 Möglichkeiten, was auch klar ist, wenn man sich das ganze mal aufzeichnet. jetzt wird es schwieriger: -zwei Paare tauschen ihren Platz: Beispiele: für n=4: 2143 eine Möglichkeit für n=5: 21435, 21354, 13254 drei Möglichkeiten für n=6= 214356, 213546, 213465, 132546, 132465, 124365 sechs Mögl. Es entsteht der Verdacht, dass es sich hierbei um Dreieckszahlen handelt, also 1, 1+2, 1+2+3, usw... Vergleichbar ist das mit dem Problem: du hast 10 Stühle und 2 Kugeln. Wie viele Möglichkeiten hat man, die Kugeln auf die Stühle zu legen? Legst du eine Kugel auf Stuhl 1, hast du noch 9 Mögl., die zweite Kugel zu platzieren. Liegt Kugel 1 auf Stuhl 2, hast du noch 8 Möglichkeiten, die zweite Kugel zu platzieren, da Stuhl ein nicht mehr gilt (die Möglichkeit wurde eben schon mitgezählt). Weiterführend ergeben sich 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 Möglichkeiten. Das werdet ihr im Unterricht schon gehabt haben. Hier ist es ähnlich, nur ist hier das Problem, dass wenn ein Paar tauscht, ein möglicher Tauschpunkt übersprungen werden muss. Wenn z.B. bei 1234 die Zahlen 1 und 2 tauschen, können 2 und 3 jetzt nicht tauschen, da 2 schon dabei ist zu tauschen. Es können also nur noch 3 und 4 tauschen. Schreiben tut man das ganze als 10über2, da man 10 Mgl. hat, die 2 Kugeln abzustellen. (tut mir leid wegen der Schreibweise, aber dieser Formeleditor hat eben schon meinen ganzen Text gelöscht, noch einmal gehe ich das Risiko meiner computertechnischen Unfähigkeit lieber nicht ein ;-) ) Auch dieses (n)über(k) wirst du kennen. Schaut man sich die bisherigen Möglichkeiten an, dann sieht man: -kein Paar tauscht, eine Möglichkeit: (n)über(0) -ein Paar tauscht, n-1 Mgl.: (n-1)über(1) -zwei Paare tauschen, Mgl= die (n-3)te Dreieckszahl: (n-2)über(2) Das (n-3) lese ich an den Beispielen ab, was besseres fällt mir leider nicht ein... Im nachhinein kann man sich da einen Reim drauf machen: Bei einem Paar steht (n-1) anstatt n, da hier zwischen zwei Stühlen getauscht wird, es gibt also n-1 mögliche "Tauschplätze". Bei zwei Paaren steht (n-2), einmal wegen den eben genannten "Tauschplätzen", zum anderen weil ein Stuhl nicht an zwei Tauschen beteiligt sein kann, es muss also bei zwei Paaren immer eine Art "Tauschlücke" geben. Analog wird dort bei 3 Paaren ein (n-3), bei 4 Paaren ein (n-4), usw. stehen. Also: -kein Paar tauscht: (n)über(0) -ein Paar tauscht: (n-1)über(1) -zwei Paare tauschen: (n-2)über(2) -drei Paare tauschen: (n-3)über(3) -vier Paare tauschen: (n-4)über(4) . . . Will man die gesamte Anzahl der Sitzordnungen wissen, addiert man diese ganzen Möglichkeiten. Dabei muss natürlich bedacht werden, dass man nur addiert so lange es auch stimmen kann, bei 7 Stühlen z.B. können keine 4 Paare tauschen, was man daran erkennt, dass beim einsetzen 3über4 steht, was kein legales Ergebnis besitzt. Das sieht es alles noch ziemlich dumm und langweilig aus. Die Pointe kommt erst, wenn man sich die ersten n und ihre Lösungen mal ansieht: n1=1 n2=1+1=2 n3=1+2=3 n4=1+3+1=5 n5=1+4+3=8 n6=1+5+6+1=13 n7=1+6+10+4=21 . . . Das ist die Fibonacci-Folge, es werden immer die letzten 2 n addiert, um das neue n zu bilden (1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, usw...) Wie das kommt weiß ich nicht, aber schön sieht es aus *g*. Hmm...viel Glück damit... Ansonsten bete, dass sich rechtzeitig jemand Kompetentes an einen Lösungsversuch heranwagt... Einen schönen Abend noch. Bis denn dann, Jan |
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Zunächst mal vielen Dank für Eure Mühe. Ich denke dass ich mit dem Lösungsvorschlag etwas anfangen konnte (zumindest die berühmten "Teilpunkte" einsammeln *g*), da sich ja ein richtiger Ansatz darin verbirgt. Also nochmals VIELEN DANK, Gruß Marc |
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