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In welchem Punkt ln(x) = sin(x)

Universität / Fachhochschule

Tags: Ansatz, Ansatz unklar, Ansatzmethode

 
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AllesIsi

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22:12 Uhr, 22.12.2021

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Hallöle,

ich hatte diese Frage schon auf gutefrage.net gestellt und auch eine Antwort erhalten, wie der Punkt mit dem Newtonschen Näherungsverfahren durch mehrfache Iteration mit arbiträrer Genauigkeit bestimmt werden kann, das hat mir auch geholfen und ich habe dadurch ein für mich neues Werkzeug erlangt, allerdings ist ein Näherungsverfahren irgendwie ziemlich unbefriedigend. Daher frage ich hier noch einmal ob irgendjemand irgendeine Idee für einen möglichen Ansatz hat.

ich habe schon versucht mit der komplexen Definition des Sinus ran zu gehen, bin aber nicht weiter gekommen.

Dann habe ich versucht was mit den Reihendefinitionen des Sinus und des Logarithmus zu machen, allerdings ist mir recht schnell klar geworden, dass ich keine Ahnung von Reihen habe, daher bin ich auch da nicht weitergekommen.

Also falls jemand hier Lust hat sich darüber den Kopf zu zerbrechen, lade ich denjenigen gerne dazu ein das hier zu tun.

Daher: Mir ist jede Idee recht.

Ich bedanke mich im Voraus für alle Antworten. c:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
Roman-22

Roman-22

22:47 Uhr, 22.12.2021

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Die Gleichung ln(x)=sin(x) wirst du nur mit einem Näherungsverfahren lösen können.

Dabei hast du freie Wahl.
Auch "Zeichnen und abmessen" ist ein legitimes Näherungsverfahren und dann gibts noch Bisektion, regula falsi, Newton, konjugierte Gradienten, Levenberg-Marquardt und noch eine ganze Menge mehr.
Falls höhere Genauigkeit erforderlich ist, wird man da wohl zu einem Rechenknecht greifen, dem seine Entwickler ein paar schlaue Algorithmen implantiert haben.

Dein Ansatz mit Reihen kann ja auch nur zu einer Näherung führen, da die entsprechenden Reihen ja unendlich viele Summanden haben und somit theoretisch auf eine Gleichung von Grad "unendlich" führt. Jetzt ist aber eine Gleichung vom Grad 3 schon recht unangenehm, auch wenns dafür eine (eben aufwändige) Formel gibt und je höher der Grad, desto abstoßender wird es bzw. gibts dann eben auch keine allgemeine Formel mehr.

Du kannst zB die Reihe für ln(x) an der Stelle 1 und für sin(x) an der Stelle π2 nehmen und jeweils nach dem quadratischen Glied abbrechen.
Du erhältst damit die Gleichung
x-1-(x-1)22=1-12(x-π2)2
die sich sogar zu einer linearen Gleichung vereinfacht und die Lösung
x=π2-204(π-4)2,95
hat, was eine recht schlechte Näherung für die Lösung der Gleichung ln(x)=sin(x) ist, welche ja bei x2,2191 liegt. Das liegt u.a. auch daran, dass die Reihe für ln(x) nur einen Konvergenzradius von 1 hat und daher für x-Werte über 2 keine Gültigkeit.
Entwickelt man ln(x) an der Stelle 2 und verwendet weder das quadratische Näherungspolynom, führt das auf die quadratische Gleichung
ln2+x-22-(x-2)28=1-12(x-π2)2
dessen relevante Lösung x2,213 ist. in dieser Lösung stecken aber die Zahl π und ln2, die man beide ja letztlich wohl auch nur näherungsweise bestimmen kann.

Besser also man hält sich da gleich an etablierte Näherungsverfahren und iteriert und iteriert und iteriert und ...

B
AllesIsi

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16:26 Uhr, 23.12.2021

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ich bedanke mich für die ausführliche Antwort.

Was mich an dieser Stelle aber interessier ist, ob es eine Reihe gibt deren Grenzwert eben dieser Punkt ist, bzw. ob es Methoden gibt gezielt eine solche Reihe zu erstellen.
Antwort
N8eule

N8eule

19:57 Uhr, 23.12.2021

Antworten
Hallo AllesIsi
Du müsstest uns noch eindeutiger verstehen lassen, was du unter "Reihen-Erstellung" erwartest.
Ich kann mir unter deinen Anmerkungen zweierlei Verständnisse vorstellen:

a)
Vielleicht erwartest du eine Reihenentwicklung, "deren Grenzwert eben dieser Punkt ist", also die den Lösungswert explizit aus dem Reihenwert eines Eingabewertes errechnet.
Also:
2,2191= x_Lösung =a0+a1y+a2y2+a3y3+...

Wenn ja, welchen Wert y sollte man denn dann annehmen / nutzen?

b)
Vielleicht erwartest du einfach die Reihenentwicklungen der beteiligten Funktionen.
Das dagegen ist ja bekannt:

ln(x)=sin(x)

x-11-(x-1)22+(x-1)33-(x-1)44+... =x-x33!+x55!-...

Antwort
Roman-22

Roman-22

04:02 Uhr, 24.12.2021

Antworten
> Vielleicht erwartest du einfach die Reihenentwicklungen der beteiligten Funktionen.

DIE Reihenentwicklung ist wohl nicht präzise genug formuliert, denn deren gibt es abhängig von der Enticklungsstelle wohl mehr als nur eine.

Und die Reihe für ln(x) ,die du angibtst, ist die Entwicklung an der Stelle 1 und die ist wegen des kleinen Konvergenzradius für die gewünschte Stelle unbrauchbar, wie ich oben schon genauer ausgeführt hatte. Und auch sin(x) würde ich für diese Aufgabe nicht unbedingt an der Stelle 0 entwickeln, so wie du das angegeben hast.

Ganz abgesehen davon, dass AllesIsi ja nach einer Reihe gefragt hat, welche gegen den x-Wert des gesuchten Schnittpunkts konvergiert.
Antwort
N8eule

N8eule

07:52 Uhr, 24.12.2021

Antworten
Roman - das stimmt alles!
Dennoch halte ich meinen Beitrag für einen befriedigenden solchen, um AllesIsi vor Augen zu führen und aufzufordern, sich selbst und dann ggf. uns im Forum klar zu machen, was er eigentlich erwartet und will.

AllesIsi

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11:31 Uhr, 24.12.2021

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Ich erwarte hier gar nichts, sondern ich bitte um Beantwortung meiner Fragen. Ich selbst habe wenig Talent für Mathematik und leider keine Ausbildung in dem Bereich, deshalb weiß ich leider oft nicht wie eine Frage mathematisch klar formuliert wird. Dennoch interessiere ich mich dafür und möchte mich weiterbilden, daher stelle ich mir selbst derartige Fragen. Nur komme ich hier mit meinem Wissen einfach nicht weiter.

Ich erwarte hier also nicht, dass mir jemand einfach eine Reihe vorsetzt die gegen den Schnittpunkt zwischen ln(x) und sin(x) konvergiert, ich frage nur ob man gezielt eine solche Reihe erstellen kann und wenn, wie man vorgehen könnte.

Ich weiß zwar prinzipiell wie man eine Taylor-Reihe für einfache Funktionen aufstellt, aber ich weiß eben nicht wie man das für einen spezifischen nicht rationalen Wert macht.

Ich weiß aber, dass es möglich sein muss, schließlich gibt es auch Reihen die gegen pi oder e konvergieren, die offensichtlich erdacht wurden, ohne dass ein "genauer" Wert für diese bekannt war.
Antwort
N8eule

N8eule

11:41 Uhr, 24.12.2021

Antworten
...und um genau diese vage Erwartungshaltung ein wenig mehr zu kanalisieren, hatte ich schon ein präzisierendes
a)
b)
versucht vor Augen zu führen...

AllesIsi

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11:55 Uhr, 24.12.2021

Antworten
Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich das klarer formulieren soll.

Aber okay:

1. Kann man gezielt eine Reihe erstellen, die gegen einen spezifischen, irrationalen Wert konvergiert? In diesem Falle gegen den Schnittpunkt von ln(x) und sin(x).

2. Wenn ja, wie könnte man vorgehen?

Nein, ich erwarte nicht, dass mir hier einfach eine Reihe vorgesetzt wird und ich glaube auch nicht, dass eine Taylorreihe der Weisheit letzter Schluss ist, ich will doch nur wissen, wie man vorgehen könnte.
Antwort
N8eule

N8eule

12:13 Uhr, 24.12.2021

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zu 1.)
Man kann gewiß Reihen erstellen, die gegen einen spezifischen, irrationalen Wert konvergieren.
Beispiele für π und die Eulerzahl e hast du ja schon genannt.

Ausschließen wird das auch niemand für den Schnittpunkt von ln(x)=sin(x) können.
Aber - um einfach meine persönliche Meinung zu äußern: Ich halte es für sehr unwahrscheinlich, dass das nach menschlichem Ermessen aussichtsreich ist.
Begründung: Die Sinus-Funktion ist typischerweise stets irgendwie abhängig von π und deren Vielfachen oder Teilern. Die Logarithmus-Funktion dagegen nicht.
Es ist auch nicht ersichtlich oder zu erwarten, dass dieser sehr 'willkürliche' Wert irgend eine mathematische, physikalische, erkenntnistheoretische Bedeutung hat, im Gegensatz eben z.B. zu π oder e.

Antwort
Shipwater

Shipwater aktiv_icon

12:39 Uhr, 24.12.2021

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Jede Reihe lässt sich als Folge auffassen und umgekehrt jede Folge als Reihe schreiben. Da das Newton-Verfahren dir eine Folge liefert die gegen die gewünschte Zahl konvergiert, erhältst du automatisch auch eine Reihe, die das tut. Ich denke du wirst hier keine befriedigendere Antwort finden als "Näherungsverfahren".

Gruß Shipwater
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.