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In welchen Punkten ist die Funktion stetig?

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Stetigkeit

Tags: Folgen, Reihen, Sonstiges, Stetigkeit

MiaSophie aktiv_icon

15:42 Uhr, 21.06.2009

Hallo,

brauche mal wieder Hilfe.

Wie bestimme ich die Punkte in der eine Funktion stetig ist.

Ich hänge mal wieder die Aufgabe als Bild an.

Am liebsten wäre es mir, wenn mir jemand so den 3 Teilen eine Lösung geben könnte, die ich nachvollziehen kann.

Allerdings weiß ich, dass sowas ja arbeit macht und ich hoffe mir kann jemand wenigstens die Lösung zu einer der Teilaufgaben geben, sodass ich vielleicht die anderen damit selber erarbeiten kann.

Vielen Dank,

liebe Grüße und einen schönen Sonntag,

MiaSophie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

sixshot aktiv_icon

19:43 Uhr, 21.06.2009

Hi

mal als beispiel die

1 . =

f (x) = lim (x \to 0) \frac{x^{2} + 1}{x}

das heißt das oben gegen 1 strebt und unten wirds ganz klein also gehts insgesammt gegen undendlich (asymptote). jetzt soll das ding aber
bei

x = 0 \in 0

weiter gehen, das geht also nich wenns minimal davor im unendlichen ist.
also entsteht nen sprung, und die funktion ist somit unstetig.

wenn das falsch formuliert ist.
hier ne definition
es sei

M

eine teilmenge von

r

und es sei

x 0

element M. eine funktion

f M \to R

heißt stetig in

x 0

wenn gilt für jede folge(xj)

j

elemet

N

mit xj element

M

und

lim

= x 0

konvergiert die folge(f(xj))

j

elemet

M

gegen

f (x 0)

.

ich hoffe ich konnte helfen

MiaSophie aktiv_icon

19:52 Uhr, 21.06.2009

Hallo,

ein bisschen schon. Aber klar ist mir das leider noch lange nicht.

Wenn die Funktion unstetig ist, hat sich das ganze sowieso erledigt?

Und wie funktioniert das ganze bei einer Stetigen Funktion?

Lieg ich richtig, dass ich auf jedenfall erstmal den Grenzwert brauche?

sixshot aktiv_icon

19:58 Uhr, 21.06.2009

hi

okay beispiel

c :

f (x) = x \cdot 3^{\frac{1}{x}}

für

x \neq 0

f (x) = 0

für

x = 0

dann wollen wir mal wieder.

für

lim (x \to 0 - 0)

betrachtest du die funktion

x \cdot 3^{\frac{1}{x}}

und da

3^{\frac{1}{x}}

immer ungleich null wird aber

x

gegen null strebt strebt alles gegen null.

d . h

. diese funktion ist stetig da

f 1 (x) = x \cdot 3^{\frac{1}{x}}

gegen null

\to

null wird und es dann mit null weiter geht in

f 2 (x),

es entsteht ein knick aber kein sprung. die funktion

f 1 (x)

wurde also stetig ergänzt durch

f 2 (x)

ich hoffe ich konnte helfen.

edit für den negativen teil ist sie stetig, dannach gibt es wieder einen sprung, und es ist unstetig ergänzt... weil

x \cdot 3^{\frac{1}{x}}

dann wieder ne asymptote gegen die

y

achse hat

MiaSophie aktiv_icon

11:30 Uhr, 23.06.2009

Vielen Dank für deine Mühe.

Rentnerin

12:29 Uhr, 23.06.2009

Hallo,

zu c)

Für

x \neq 0

gilt

f (x) = \frac{3^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}

und damit folgt

lim_{x \to 0 + 0} f (x) = lim_{x \to 0 + 0} \frac{3^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} = lim_{z \to \infty} \frac{3^{z}}{z} = \infty

, weil die Exponentialfunktion stärker wächst als jedes Polynom.

Damit kann f an der Stelle

x_{0} = 0

nicht stetig sein.

Gruß Rentnerin

sixshot aktiv_icon

13:27 Uhr, 24.06.2009

Hi

muss rentnerin recht geben aber dachte, dass ich das ober erklärt hatte,

wenn du von - unendlich zur null gehst, dann wird es stetig ergänzt,
jedoch von

+

unendlich zur null hast du eine asymptote gegen die y-Achse,

d . h

. dort ist es nicht stetig.

ich hoffe ich konnte helfen. gruß six

Rentnerin

16:15 Uhr, 24.06.2009

Zum Stetigkeitsbegriff:

Der Funktionswert

f (x_{0})

muss identisch sein mit dem Grenzwert

lim_{x \to x_{0}} f (x)

. Im vorliegenden Fall existiert dieser Grenzwert nicht und daher kann f an der Stelle

x_{0}

nicht stetig sein.

sixshot aktiv_icon

17:52 Uhr, 24.06.2009

hi rentnerin

ich komm nicht ganz mit mit deiner argumentation

wenn ich im inverall von - unendlich bis 0
den grenzwert bestimmen will von

f (x) = x \cdot 3^{\frac{1}{x}}

ich hoffe wir reden beide von der gleichen funktion.

kann ich weil

x

negativ ist das ganze auch umschreiben zu

f (x) = x \cdot \frac{1}{3^{\frac{1}{x}}}

für werte

- 1 < x

wird das ganze dann zu

f (x) = x \cdot \frac{1}{3^{x}}

und wenn das gegen null strebt strebt der gesamte ausdruck gegen null.

wenn ich mich, bitte korregieren, aber ich denke das dürfte passen und sollte so ergänzt werden können, zumindest von - unendlich nach 0

Rentnerin

20:12 Uhr, 24.06.2009

Korrekt ist, dass die Funktion linksseitig stetig ist. Wäre der Definitionsbereich

] - \infty, 0]

wäre sie sogar (global) stetig. Da es aber rechts von Null weitergeht, muss der Stetigkeitsbegriff "gleichzeitig" beiderseits von Null angewendet werden. Der linksseitige Grenzwert existiert und stimmt mit dem Funktionswert überein. Der rechtsseitige Grenzwert existiert nicht, und daher kann f bei 0 nicht stetig sein.

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