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In welchen Punkten ist folgende Funktion stetig?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

richardducat aktiv_icon

00:51 Uhr, 05.12.2009

Guten Morgen,

es ist mal wieder Zeit für eine Aufgabe in Analysis 1 (für Physiker).
Bei der folgenden Aufgabe soll geprüft werden, für welche Punkte
die Funktion stetig ist.
Ich habe Schwierigkeiten, die Aufgabe zu verstehen. In der Vorlesung hatten
wir Stetigkeit und alle möglichen Sätze (delta-epsilon-kriterium usw.) zum Thema wurden behandelt. Wie gehe ich diesen Aufgabentypus an und mit Hilfe welcher sätze
kann ich das problem lösen?

Hier die Funktion:

f : R \to R f (x) = \frac{1}{x^{4} - 1} f ü r x^{2} \neq 1, f (1) = 1 u n d f (- 1) = 1

Für Tipps und Hinweise wäre ich euch sehr dankbar.

e

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

arrow30

01:06 Uhr, 05.12.2009

und was denkst du ? wo hast du hier Problemen ?

richardducat aktiv_icon

01:18 Uhr, 05.12.2009

hallo arrow,

vermutlich mit dem delta-epsilon-kriterium. Nur leider habe ich keine Idee, wie

ich vorgehen soll.

pleindespoir aktiv_icon

03:23 Uhr, 05.12.2009

welche Punkte hältst du denn für wert untersucht zu werden?

richardducat aktiv_icon

15:02 Uhr, 05.12.2009

hallo pleindespoir,

vielleicht die Punkte an der stelle x=1 und x=-1?

richardducat aktiv_icon

15:48 Uhr, 05.12.2009

ich muss also zeigen, dass meine funktion f(x) an den stellen x=1 und x=-1 stetig ist. das kann ich entweder mit dem folgen - o. delta-epsilon-kriterium zeigen.

aber wann verwende ich welches kriterium? ich tu mich etwas schwer, dass formal aufzuschreiben. viel. könnt ihr mir einmal exemplarisch zeigen, wie ich vorgehen muss. vielen dank!

rd

arrow30

15:56 Uhr, 05.12.2009

ich weiß nicht ,ob das deine Aufgabe ist oder nur ein Beispiel . aber diese Funktion ist eben nicht stetig an

x = \pm 1

und an allen anderen Stellen ist sie stetig :

lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \infty \neq f (1) = 1

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty \neq f (1) = 1

bei

- 1

ist es das gleiche Spiel (siehe das Bild)

richardducat aktiv_icon

16:09 Uhr, 05.12.2009

hallo arrow30,

danke für die schnelle antwort. deinem plott ist schön anzusehen, dass die funktion

an den stellen x=1 und x=-1 nicht stetig ist, bzw. man kann ihr keinen festen funktionswert zuordnen. aber wenn du dir noch einmal die aufgabenstellung ansiehst, in der f(1)=1 und f(-1)=1 gefordert wird, dann versteh ich nicht, was diese forderung bedeuten soll.

hättest du auch eine idee, wie man mit dem folgenkriterium bzw. epsilon-deltea-krit.die nichtstetigkeit in den oben genannten punkten zeigen kann.

ich hoffe, der knoten platzt bald, denn rein intuitiv ist diese aufgabe eigentlich nicht schwer. hoffentlich hast du noch ein wenig geduld...

rd

arrow30

16:48 Uhr, 05.12.2009

ich weiß nicht ,ob ich hier schlauer als du bin (glaube ich nicht ) :-)
aber die Def. besagt

: | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ε, \forall ε > 0

und für ein geeignetes

δ

in Abhängigkeit von

ε

und

x_{0}

(nicht jedoch von

x)

also

| \frac{1}{x^{4} - 1} - 1 | = | \frac{1 - x^{4} - 1}{x^{4} - 1} | = | \frac{- x^{4}}{x^{4} - 1} | = | \frac{x^{4}}{1 - x^{4}} | < ε

und

| x - 1 | < δ

| \frac{x^{4}}{1 - x^{4}} | < ε \Leftrightarrow | \frac{1 - x^{4}}{x^{4}} | = | \frac{(1 - x^{2}) (1 + x^{2})}{x^{4}} | = | \frac{(1 - x) (1 + x) (1 + x^{2})}{x^{4}} | > \frac{1}{ε}

ich sehe auch

| \frac{(1 - x) (1 + x) (1 + x^{2})}{x^{4}} | = | - (x - 1) | | \frac{(1 + x) (1 + x^{2})}{x^{4}} | < δ \cdot | \frac{(1 + x) (1 + x^{2})}{x^{4}} | > \frac{1}{ε}

jetzt musst mitdenken :-D) warum soll das ganze gut sein wenn schon

richardducat aktiv_icon

17:50 Uhr, 05.12.2009

danke arrow30, das sieht gut aus. deinen letzten satz "jetzt musst du mitdenkten, für was soll das gut sein, wenn schon..." wurde wohl abgeschnitten. was wolltest du mir sagen?

richardducat aktiv_icon

18:20 Uhr, 05.12.2009

kannst du mir erklären, was du in der letzten zeile getan hast?

rd

arrow30

19:58 Uhr, 05.12.2009

| \frac{x^{4}}{1 - x^{4}} | = | \frac{x^{4}}{(1 - x) \cdot (1 + x) \cdot (1 + x^{2})} | = | \frac{1}{- (x - 1)} | \cdot | \frac{x^{4}}{(1 + x) \cdot (1 + x^{2})} |

= | \frac{1}{(x - 1)} | \cdot | \frac{x^{4}}{(1 + x) \cdot (1 + x^{2})} | < ε \Rightarrow \frac{1}{| (x - 1) |} < \frac{ε}{| \frac{x^{4}}{(1 + x) \cdot (1 + x^{2})} |}

du ich versuche hier zu zeigen ,dass es für kein

δ

aus

| x - 1 | < δ

folgt

| f (x) - 1 | < ε

.jetzt habe ich

| x - 1 |

da unten im Nenner

richardducat aktiv_icon

20:34 Uhr, 05.12.2009

dieser letzte ungleichunsterm bedeutet, dass

∣ x - 1 ∣ > δ ?

hagman aktiv_icon

20:36 Uhr, 05.12.2009

Letztlich geht es darum, dass für

x \approx \pm 1

gilt

x^{4} - 1 \approx 0,

also

\frac{1}{x^{4} - 1}

betragsmäßig sehr groß, was nicht vereinbar mit Stetigkeit an diesen Stellen ist, denn dann müsste ja

\frac{1}{x^{4} - 1} \approx f (\pm 1) = 1

gelten.
Arrows Rechnung macht diese Überlegung, die ja auch vom Plot nahegelegt wird, lediglich mathematisch wasserdicht.
Um es eigentlich zu wiederholen (ein indirekter Beweis, daher reichlich Konjunktive):
Wäre

f

bei

x = 1

stetig

(x = - 1

geht entsprechend), so gäbe es zu jedem

ε > 0

ein

δ > 0,

so dass

| f (x) - f (1) | < ε

für alle

x

mit

| x - 1 | < δ

gölte.
Insbesondere wäre dies zu

ε = 1

der Fall.
Wie auch immer man jedoch

δ

wählte, man könnte ein

x

finden mit

| x - 1 | < δ

und zugleich

1 < x < \sqrt[4]{\frac{3}{2}},

für welches

0 < x^{4} - 1 < \frac{1}{2}

und somit

f (x) > 2

folgte, wohingegen doch

| f (x) - 1 | < ε = 1

gelten sollte.
Folglich ist

f

an der Stelle

x = 1

nicht stetig (ebenso bei

x = - 1)

richardducat aktiv_icon

21:40 Uhr, 05.12.2009

vielen dank für die ausführliche erläuterung!

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