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Index von H

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Gruppen

Tags: Gruppen, Index, Untergruppen

Marcell025 aktiv_icon

14:19 Uhr, 29.09.2017

Sei

G

eine Gruppe und

H \leq G

vom Index 2. Zz. ist, dass

H

ein Normalteiler von

G

ist.

Mir ist leider nicht klar, was "vom Index 2" bedeutet.
Könnte mir jemand ein Beispiel geben (am besten mit

G = (Z, +)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:35 Uhr, 29.09.2017

Der Index einer Untergruppe

H

einer Gruppe

G

ist die Anzahl
der Nebenklassen von

H

G

.
Bei

G = (Z, +)

ist

H = 2 Z = {2 z ∣ z \in Z}

eine Untergruppe vom Index 2.
Die Nebenklassen sind

Z = Z + 0

und

Z + 1 = {z + 1 ∣ z \in Z}

, also
die geraden ganzen Zahlen sind die eine Klasse, die ungeraden die andere Klasse.

P.S.: wirklich interessant ist die Normalteilereigenschaft bei
nichtabelschen Gruppe, wie z.B. bei der symmetrischen Gruppe

S_{3}

.
Bei abelschen Gruppen ist jede Untergruppe auch Normalteiler.

Marcell025 aktiv_icon

16:40 Uhr, 02.10.2017

Ah, ok ich verstehe! Danke!

Nun will ich zeigen, dass

H

Normalteiler von

G

ist.
Ich habe gestartet mit einer Fallunterscheidung in Fall1 für abelsche Gruppen(ist klar) und Fall 2 für nicht abelsche Gruppen.
Nun sagt mir Index

2,

dass ich 2 Nebenklassen habe..

z . z

ist

g \cdot H = H \cdot g

für alle

g \in G

oder?
Ich wäre zudem noch froh um einen kleinen Tipp..

ermanus aktiv_icon

16:49 Uhr, 02.10.2017

Hallo,

wenn

H

den Index 2 in

G

hat, dann gibt es genau zwei Links- und genau zwei
Rechtsnebenklassen von

G

nach

H

, etwa die Linksnebenklassen

H, g H

und die
Rechtsnebenklassen

H, H g

, wobei

g \notin H

ist.
Nun benutze die Tatsache, dass

G = H \cup g H

mit

H \cap g H = \emptyset

ist und
Entsprechendes für die Zerlegung von

G

in die Rechtsnebenklassen gilt.
Hieraus solltest du leicht

g H = H g

schließen können.

Marcell025 aktiv_icon

08:36 Uhr, 04.10.2017

Vielen Dank für die Hilfe!

Woraus folgt, dass

H \cdot g \cup H = G

ist?

Leider komme ich noch nicht weiter. Wie kann ich solche "Mengengleichungen" nach meinem Nutzen umformen um die Gleichheit zu zeigen? Meine Idee ist zu zeigen, dass wenn

x \in g \cdot H

ist, dass folgt

x \in H \cdot g

. Oder suche ich zu weit?

Mein bis jetzt bester Versuch:

x \in G = H \cup g \cdot H \Rightarrow x \in H \cup H \cdot g \Rightarrow

Da die Durchschnitte leer sind, muss

x \in H

oder

H \cdot g

sein

\Rightarrow

nun komme ich leider nicht weiter...

ermanus aktiv_icon

09:06 Uhr, 04.10.2017

Hallo Marcel,

in deinen Unterklagen findest du sicher die Aussage, dass die Nebenklassen
von

G

nach einer Untergruppe

H

gerade die Äquivalenzklassen der
Relation

x \sim y : \overset{}{\Leftrightarrow} x y^{- 1} \in H

(bzw.

x^{- 1} y \in H

für die Linksnebenklassen) sind. So zerfällt

G

in die
disjunkten Klassen

H x

mit

x \in G

, wobei

H x = H y

ist wenn

x \sim y

ist,
d.h.

G = ⋃_{g \in G} H g

. Im Falle Index = 2 ist dann

G = H \cup H g

und ebenso

G = H \cup g H

mit einem

g \notin H

. Da

H \cap H g = H \cap g H = \emptyset

ist
(Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt),
gilt

g H = G \ H = H g

; denn

g H

bzw.

H g

ist einfach das Komplement
von

H

G

.

Gruß ermanus

Marcell025 aktiv_icon

15:23 Uhr, 04.10.2017

Ah klar!
Vielen Dank!

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