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Indexmenge

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Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung

Miauda

15:17 Uhr, 30.10.2023

Hallo zusammen!

Ich war die letzte Woche erkrankt und konnte nicht an den Vorlesungen teilnehmen, deshalb verzweifle ich gerade etwas an den Aufgaben. Auch wenn ich es nicht vorgerechnet mag hätte ich es dieses Mal mit einem Ergebnis, da ich nicht mehr viel Zeit habe und das hin und her sehr zeitaufwendig sein kann.
Was ist eine endliche Indexmenge und was genau kann ich unter der Aufgabe a und c verstehen?
B habe ich verstanden, konnte es aber nur anhand eines Beispiels zeigen. Denkt ihr das geht, oder muss das allgemeiner sein? Wenn ja, auch hier bitte eine Rechnung.

Danke schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

16:29 Uhr, 30.10.2023

Hallo,

nun, erst einmal ist eine Indexmenge nur eine Menge von Indices.
In Index ist so etwas, was rechts tiefer gestellt neben einer Variable auftaucht:

C_{j}

Da ist das

j

ein Index.
Eine Indexmenge ist also eine Menge, aus der man Indices auswählen kann, die dann als Index an einer Variablen dienen.
Eine endliche Indexmenge ist dann als Menge eben endlich.

Du kannst dir, wenn es den Knoten in deinem Kopf lindert, die endliche Indexmenge

I

immer als

{1; \dots; n}

vorstellen, wobei

n \in ℕ \ {0}

gilt und

n

eben variabel ist.
(Dabei muss

I

nicht einmal Zahlen enthalten. Es könnte auch sein, dass als Indices die 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets genommen werden. Das ist aber für die Aufgabe nicht relevant.)

Bei a) geht es nur darum, dass

\sum_{i \in I} λ_{i} v_{i} = 0 \Rightarrow λ_{i} = 0 \forall i \in I

äquivalent ist zu:

\exists i \in I : v_{i} = \sum_{j \in I \ {i}} C_{i} v_{i}

Dabei sei angemerkt, dass die Arbeit (wenn es denn überhaupt welche gibt) in "

\Rightarrow

" steckt.

In c) geht es (wie in a)) wirklich nur um das, was da steht: Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren

u

v

und

w

.
Du sollst zeigen, dass auch

{u + v, u + w, v + w}

linear unabhängig ist.

Bei b) hängt es jetzt schon ein bisschen davon ab, wie ihr den Spaltenrang definiert habt. Ein Beispiel wird da als Lösung kaum reichen.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

01:15 Uhr, 31.10.2023

b)

Sei

A := (a_{k l}) \in R^{m \times n}

und

B

die Matrix,

die für

λ \in R

und

s, t \in N

mit

1 \leq r, s \leq n, r \neq s

aus A durch Addition des

λ

-fachen der

r

-ten Zeile zur

s

-ten Zeile hervorgeht.

Zudem seien

(a^{l})

die Spalten von A und

(b^{l})

die Spalten von B.

Für

p \in N

mit

p \leq n

sei nun

(a^{τ (l)})

eine beliebige Auswahl

von

p

Spalten von A und für

μ \in R^{p}

gelte

0 = \sum_{l = 1}^{p} μ_{l} a^{τ (l)}

.

Dann gilt auch

0 = \sum_{l = 1}^{n} μ_{l} a_{k τ (l)}

für alle

1 \leq k \leq m

und somit

\sum_{l = 1}^{n} μ_{l} b_{s τ (l)} = \sum_{l = 1}^{n} μ_{l} (a_{s l} + λ a_{r l}) = \sum_{l = 1}^{n} μ_{l} a_{s l} + λ \sum_{l = 1}^{n} a_{r l} = 0 + λ \cdot 0 = 0

und damit auch

0 = \sum_{l = 1}^{p} μ_{l} b^{τ (l)}

.

Gilt umgekehrt zunächst

0 = \sum_{l = 1}^{p} μ_{l} b^{τ (l)}

für ein

μ \in R^{p}

und eine beliebige Auswahl von

p

Spalten von

B,

dann gilt auch

0 = \sum_{l = 1}^{p} μ_{l} b_{k τ (l)}

für alle

1 \leq k \leq m

und somit

\sum_{l = 1}^{n} μ_{l} a_{s τ (l)} = \sum_{l = 1}^{n} μ_{l} (b_{s l} - λ b_{r l}) = \sum_{l = 1}^{n} μ_{l} b_{s l} - λ \sum_{l = 1}^{n} b_{r l} = 0 - λ \cdot 0 = 0

und damit auch

0 = \sum_{l = 1}^{p} μ_{l} a^{τ (l)}

.

Daraus folgt, dass eine beliebige Auswahl von

p

Spalten von A genau dann linear unabhängig ist,

wenn dieselbe Auswahl von

p

Spalten von

B

es ist,

und somit die Behauptung.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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