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Indexverschiebung

Universität / Fachhochschule

Tags: Indexversciebung beim, Summenzeichen

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11:48 Uhr, 23.07.2008

Hallo,

Irgendwie versteh ich die Indexverschiebung nicht so richtig beim Summenzeichen. Wenn ich nun eine Summe habe, die von k = 0 bis n läuft und ich den Index von k = 0 auf k = 1 setzen will, dann muss ich ein Reihenglied abziehen,oder? Und zwar das für k = 0. Also muss ich für k überall 0 einsetzen und dass von der Summe abziehen. Wenn ich nun meine Summe von K = 0 bis n+ 1 laufen lassen möchte, muss ich ein Glied hinzufügen ..aber welches .. ja, dass (n+1)te Glied .. muss ich dann einfach in meine Summe für k (n+1) einsetzen ?

Wenn ich meine Summe nun von k = a bis n = n + a laufen lassen will, wobei k eine natürliche Zahl ist, dann muss ich doch nichts verändern, oder ?

Vielleicht kann mir wer ja die Sache mit der Indexverschiebung näher bringen. Danke

m-at-he

12:10 Uhr, 23.07.2008

Hallo,

ich habe das Gefühl, daß da einiges bei Dir durcheinander geworfen wird. Wenn ich eine Summe habe

Σ_{k = 0}^{n}

und will die ändern in eine Summe

Σ_{k = 1}^{n}

dann "spalte" ich einen Summanden ab,

d . h

. ich nehme einen Summanden aus der Summe heraus und schreibe ihn separat davor oder dahinter, das ist aber keine Indexverschiebung! Analoges gilt, wenn ich von

Σ_{k = 0}^{n}

auf

Σ_{k = 0}^{n + 1}

kommen will, dann muß ich in der Summe den Summanden mit

k = n + 1

addieren und von der Summe wieder abziehen, aber auch das ist keine Indexverschiebung! Eine Indexverschiebung ist strenggenommen eine (zweifache) Substitution:

Σ_{k = 0}^{n} (f (k)) = Σ_{j - 1 = 0}^{n} (f (j - 1)) = Σ_{j = 1}^{n + 1} (f (j - 1)) = Σ_{k = 1}^{n + 1} (f (k - 1))

Zunächst wird

k

substituiert durch

j - 1

und nach der Umstellung an der Summe (und den möglichen Umstellungen innerhalb

f (j - 1)

) wird

j

wieder durch

k

substituiert. Da man das auch einfach Laufindexumbenennung nennen könnte, hatte ich das "zweifache" vor der "Substitution" weiter oben in Klammern gesetzt.

Bsp:

Σ_{k = 0}^{n} (\frac{1}{2^{k + 1}}) = \frac{1}{2^{1}} + Σ_{k = 1}^{n} (\frac{1}{2^{k + 1}}) = \frac{1}{2} + Σ_{k = 1}^{n} (\frac{1}{2^{k + 1}})

Σ_{k = 0}^{n} (\frac{1}{2^{k + 1}}) = Σ_{k = 0}^{n + 1} (\frac{1}{2^{k + 1}}) - \frac{1}{2^{n + 2}}

das beides ist keine Indexverschiebung, eine Indexverschiebung ist:

Σ_{k = 0}^{n} (\frac{1}{2^{k + 1}}) = Σ_{j - 1 = 0}^{n} (\frac{1}{2^{(j - 1) + 1}}) = Σ_{j = 1}^{n + 1} (\frac{1}{2^{j}}) = Σ_{k = 1}^{n + 1} (\frac{1}{2^{k}})

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