Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Indexverschiebung bei Summen(Binomischer Lehrsatz)

Indexverschiebung bei Summen(Binomischer Lehrsatz)

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomischer Lehrsatz, Indexversciebung beim, Summenzeichen

Kasiaw aktiv_icon

11:27 Uhr, 08.02.2012

Hallo alle zusammen,

ich lerne momentan für eine Klausur, und es gibt Stellen wo ich einfach nicht dahinter komme.

Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie:

$\sum_{k = 1}^{n + 1} (\begin{matrix} n + 3 \\ k + 1 \end{matrix})$

So, erstmal schreib ich auf bis wohin ich alles verstehe und nachvollziehen kann:

$\sum_{k = 1}^{n + 1} (\begin{matrix} n + 3 \\ k + 1 \end{matrix}) = \sum_{k = 2}^{n + 2} (\begin{matrix} n + 3 \\ k \end{matrix})$

Und ab jetzt gehts los. Die folgende Indexverschiebung bewirkt ja, dass ich wieder etwas abziehen muss. Auch ist mir klar, dass das nach dem binomischen Lehrsatz geschieht, aber ich komm absolut nicht dahinter, was ich da abziehen muss und warum im folgenden Schritt sich das k in der Klammer nicht verändert (Also ich gehe 2 Schritte zurück (k=0) aber in der Klammer wird nicht k+2 gemacht).

$\to \sum_{k = 0}^{n + 3} (\begin{matrix} n + 3 \\ k \end{matrix}) - (\begin{matrix} n + 3 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} n + 3 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} n + 3 \\ n + 3 \end{matrix})$ ????

Dann gehts noch weiter (auch nach dem binomischen Lehrsatz, ich weiß, aber wie komm ich bitte darauf????)

$= 2^{n + 3} - 1 - (n + 3) - 1 = 2^{n + 3} - n - 5$

Danke schonmal für eure Hilfe!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

12:02 Uhr, 08.02.2012

Hallo,

"Und ab jetzt gehts los. Die folgende Indexverschiebung bewirkt ja, dass ich wieder etwas abziehen muss." - Falsch! Das ist keine Indexverschiebung! Es werden einfach 3 Summanden addiert und wieder abgezogen. Das ändert an dem Wert des gesamten Terms nichts. Die abgezogenen Binomialkoeffizienten kann man einfach sehen, die stehen hinter der Summe jeweils mit einem Minus davor. Die selben Summanden, nur mit einem Plus davor, sieht man nur noch indirekt, da der Index der Summe erweitert (aber nicht verschoben! Du gehst also nicht mit

k 2

Schritte zurück!) wurde!!! Und weil der Index nur erweitert und nicht verschoben wurde, ändert sich auch an dem

k

in der Summe nichts!

Der Wert der Summe mit dem erweiterten Index von 0 bis

n + 3

ergibt

2^{n + 3}

. Das sollte man wissen! Die

- 1

danach entstehen einfach durch Berechnung der

- (\begin{matrix} n + 3 \\ 0 \end{matrix})

. Die

- (n + 3)

aus

- (\begin{matrix} n + 3 \\ 1 \end{matrix})

und die letzte

- 1

aus

- (\begin{matrix} n + 3 \\ n + 3 \end{matrix})

. Der Rest ist ausklammern und Zahlen zusammenfassen...

Kasiaw aktiv_icon

12:05 Uhr, 08.02.2012

Dass diese Zahlen jeweils zu den entsprechenden Ausdrücken gehören, darauf kann man selbst ohne amthematisches Wissen kommen.
Auch wenn ich es wissen müsste, weiß ich es nicht, und deshlab frag ich hier.
Ich würde gerne wissen wie man darauf kommt!
Trotzdem danke!

Bummerang

12:16 Uhr, 08.02.2012

Hallo,

es steht nicht ausformuliert da, aber wenn man gelernt hat, nicht nur zu lesen, sondern auch zu verstehen, dann kann man dort lesen, dass eine Indexerweiterung vorgenommen wurde. Die dafür notwendigen Terme, die man einerseits addieren und andererseits wieder abziehen muß, ergeben sich aus dem Term in der Summe und den Indizes, um die erweitert wurde!

PS: Auch ich kann schnippisch werden, das ist echt kein Problem für mich!

Kasiaw aktiv_icon

12:27 Uhr, 08.02.2012

mensch, ich schreibe doch hier rein, weil ich einfach nicht von selbst darauf komme und es gerne verstehen würde. Und dann helfen mir Sätze wie "Das muss man wissen!" nicht weiter. Und wenn das ganze so einfach und klar zu berechnen wäre, würde ich doch nicht hier fragen müssen. Da muss man ja Angst bekommen zu fragen. Aber trotzdem danke, dass du dich damit auseinander gesetzt hast.

Bummerang

12:37 Uhr, 08.02.2012

Hallo,

einerseits steht bei mir nirgends: "Das muss man wissen!" und andererseits ist der Satz: "Das sollte man wissen!" nichts als ein Hinweis darauf, dass ich hier auf ein gewisses Basiswissen aufbaue. Wenn man bei Dir nicht auf irgendein Basiswissen aufbauen darf, ohne dafür angemotzt zu werden, dann wirst Du es irgendwann erleben, dass die Antworten auf Deine Fragen ellenlang sind und

u . a

. Erklärungen enthalten, warum

1 + 1

gerade 2 ist! Wenn Du bei einer Antwort darauf stößt, dass da auf ein Wissen aufgebaut wurde, das Du nicht hast, dann kannst Du gerne konkret nachfragen, wie man darauf kommt. Ich bin mir sicher, dass Du darauf auch eine Antwort bekommst, die auf einem niedrigerem Wissensniveau aufbaut. So kann man sich iterativ so weit durchhangeln, bis man es Dir auf dem vorhandenen Wissen aufbauend erklärt hat. Da mußt Du nicht in irgendeiner Art ausfällig werden!

Kasiaw aktiv_icon

12:57 Uhr, 08.02.2012

Es sollte nicht ausfällig wirken.

Scheinbar fehlt mir hier irgendeine Basis oder ich sehe da irgendeinen Zusammenhang nicht.

Also, wenn k und n gleich verschoben werden, dann ist mir auch klar wie ich das in der Klammer ändern muss.

An der einen Stelle wird k=0 und n+3 verschoben. Wie subtrahiere ich da richig?

Mein 2. Problem:

$(\begin{matrix} n + 3 \\ k \end{matrix}) = 1^{k} \cdot 1^{n + 3 - k} = 2^{n + 3}$

Das ist mir klar.

$- (\begin{matrix} n + 3 \\ 0 \end{matrix}) = - (1^{0} \cdot 1^{n + 3 - 0}) = - 1^{n + 3} = - 1$

Das ist richtig so?

$- (\begin{matrix} n + 3 \\ 1 \end{matrix}) = - (1^{1} \cdot 1^{n + 3 - 1}) = ? ?$

Da weiß ich nicht wie ich auf -(n+3) komme..

Bummerang

13:17 Uhr, 08.02.2012

Hallo,

also noch mal von vorn!

Es wird an der von Dir nicht verstandenen Stelle der Index NICHT VERSCHOBEN!!! Der Index wird ERWEITERT!!!. Schreibe Dir die Summe von

k = 1

bis

n + 2

mal in der "..."-schreibweise auf,

d . h

. die ersten zwei und die letzten zwei Summanden! Lasse dabei vor der Summe Platz für zwei weitere Binomialkoeffizienten. Dann schreibe in den freigelassenen Platz vor der Summe die beiden Koeffizienten, bei denen "oben" die

n + 3

stehen und "unten" einmal "0" und einmal "1". Hinter die Summe schreibst Du nun noch den Koeffizienten mit "n+3" sowohl "oben" als auch "unten". Alle diese Summanden mit einem positiven Vorzeichen,

d . h

. Du hast jetzt diese 3 Summanden addiert. damit das Ganze aber den Wert nicht ändert, ziehst Du diese drei Summanden am Ende wieder ab. Wenn Du Dir nun die Summanden mit positivem Vorzeichen ansiehst, dann ergeben die eine "neue" Summe mit einem erweiterten

(!!!)

Index. Der läuft nunmehr von

k = 0

bis

n + 3

. Das sollte Dir diesen Schritt erklären helfen. Und wie schon des öfteren gesagt: Hier wird der Index nicht verschoben!!! Er wird erweitert!!!

Was Du da unter "2. Problem" schreibst, ist für mich nicht nachvollziehbar. Bei mir stand, dass der Wert der Summe mit dem erweiterten Index (also mit

k = 0

bis

n + 3!) 2^{n + 3}

ergibt. Demzufolge ergibt der einzelne Binomialkoeffizient mit beliebigem

k

nicht auch schon jeweils

2^{n + 3}!

Den Wert der Summe ermittelt man durch folgende Berechnung:

2^{n + 3}

= {(1 + 1)}^{n + 3}

= \sum_{k = 0}^{n + 3} ((\begin{matrix} n + 3 \\ k \end{matrix}) \cdot 1^{k} \cdot 1^{((n + 3) - k)})

= \sum_{k = 0}^{n + 3} ((\begin{matrix} n + 3 \\ k \end{matrix}) \cdot 1^{(k + (n + 3) - k)})

= \sum_{k = 0}^{n + 3} ((\begin{matrix} n + 3 \\ k \end{matrix}) \cdot 1^{(n + 3)}

= \sum_{k = 0}^{n + 3} ((\begin{matrix} n + 3 \\ k \end{matrix}) \cdot 1)

= \sum_{k = 0}^{n + 3} ((\begin{matrix} n + 3 \\ k \end{matrix}))

Und dann gilt:

- (\begin{matrix} n + 3 \\ 0 \end{matrix}) = - \frac{(n + 3)!}{0! \cdot ((n + 3) - 0)!} = - \frac{(n + 3)!}{1 \cdot (n + 3)!} = - \frac{(n + 3)!}{(n + 3)!} = - 1

und

- (\begin{matrix} n + 3 \\ 1 \end{matrix}) = - \frac{(n + 3)!}{1! \cdot ((n + 3) - 1)!} = - \frac{(n + 3)!}{1 \cdot (n + 2)!} = - \frac{(n + 3) \cdot (n + 2)!}{(n + 2)!} = - (n + 3) \cdot \frac{(n + 2)!}{(n + 2)!} = - (n + 3) \cdot 1 = - (n + 3)

Kasiaw aktiv_icon

13:22 Uhr, 08.02.2012

VIELEN VIELEN DANK!

Genau das waren die 2 Probleme!

Trotz Zickereien, DANKE!!!!!! ;)

Bummerang

13:31 Uhr, 08.02.2012

Bitte bitte...

971752

971718

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?